§ 33. Ергодична гіпотеза.
Нагадаємо ще раз, що статистична фізика ставить завдання визначати середні значення макропараметрів і встановлювати взаємозв'язок між ними залежно від будови системи та характеру взаємодії частинок, що становлять систему.
Для визначення середнього значення деякої величини є два способи. Можна, по-перше, простежити перебігом зміни величини у часі, тобто. визначити t), а потім знайти середнє
(33.1)
Зазвичай саме таким шляхом здійснюєтьсядослідневизначення фізичних величин, процедуру усереднення виконує вимірювальний прилад. При теоретичному розрахунку середнього функція невідома. Статистична фізика визначає значення макропараметрачерез ймовірність перебування макросистеми в різних доступних їй мікростанах.
Нехай ймовірність виявлення системи в мікростан з енергією Еi становить Р(Еi), і фізична величина при цьому має значення . Тоді середнє значення за відомим з теорії ймовірності співвідношенню визначається
(33.2)
Сума (33.2) обчислюється по всій доступній системі мікростанів. Зауважимо, що одному значенню енергії Е можуть відповідати декілька мікростанів, їх число позначимо Г(Е). Розмір Г(Е) називаєтьсястатистичною вагою.
Подайте, наприклад, кілька газових молекул у посудині (див. малюнок). Внаслідок нерозрізненості молекул їх певний розподіл частинами судини (одна молекула в лівій частині судини і дві молекули в правій частині) може бути здійснено декількома, Г(Е способами . У даному прикладі Г(Е = ).
Статистична фізика виходить з наступного припущення, відомого під назвоюергодичної гіпотези:замкнута макросистема за великий проміжок часу побуває ввсіх доступних їй мікростанах, причому ці мікростани рівноймовірні. Інакше, для макросистеми середнє значення макровеличиниза великий час збігається із середнім значенням цієї величини по великому ансамблю ідентичних макросистем, тобто. , знайдене за (33.1) та (33.2), однаково.
Процедура знаходження шляхом підсумовування (33.2) називаєтьсястатистичнимусередненням: для усереднення необхідна функція Р(Е) -функція статистичного розподілу (або просто функція розподілу).Якщо ця функція відома, то відповідно з (33.2) можна розрахувати всі характеристики макростану. Подальше завдання полягає у знаходженні функції статистичного розподілу.
§ 34. Розподіл Гіббса.
Розглянемо системи в рівноважному стані. Функція розподілу таких систем має залежати від часу.
Нехай маємо замкнуту макросистему. Кожному дискретному значенню Е енергії системи може відповідати деяка група мікростанів Г(Е. Оскільки всі мікростани із заданою енергією рівноправні, ймовірність виявити систему в стані з енергією Е пропорційна числу мікростанів
(34.1)
Це співвідношення називаєтьсямікроканонічним розподілом Гіббса.Замкнутих систем, строго кажучи, в природі не існує, реальні системи завжди якоюсь мірою відкриті. Розглянемо макросистемуА, що знаходиться в контакті з великою системою - термостатом.
Система А відкрита, вона може обмінюватися енергією із системою В. Припустимо, що системи А та В утворюють разом замкнуту систему АВ. Для замкнутої системи АВ енергія стала
Сума ( 34.2 ) показуєадитивність системи:енергія складової системи АВ дорівнює сумі енергій підсистем А та В (енергієювзаємодії підсистем нехтуємо).
Ймовірність виявити відкриту систему А може з енергією Е , а систему У з енергією Єв, як ймовірність складного події, дорівнює добутку ймовірностейР(ЕР(Ев). У той самий час складова система АВ - замкнута, тому її справедливо мікроканонічне розподілення
(34.3)
Зауважимо, що під системою В ми розуміємо дуже велику систему, тож Єв Е . Тому, якою б не було зміна стану системи А, стан системи можна вважати практично незмінним, Р( Єв) = const. Крім того, число мікростанів складової системи має, на відміну від енергії, властивістьмультиплікативності,так що
Пояснимо це з прикладу. Нехай у системі стан з енергією Е1 реалізується двома способами (Г (Е1) = 2), а системі У стан з енергією Е2 - трьома способами ( Р (Е2) = 3). Макростан об'єднаної системи АВ з енергією Е1 + Е2 здійснюється , наприклад, якщо система А знаходиться в першому мікростані, а система - або в першому, або в другому, або в третьому мікростані і т.д. Отже, макростан системи АВ з енергією Е1 + Е2 може бути здійснено Г(Е1) Г(Е2) = 2 3 = 6 способами.
Тоді, з урахуванням (34.4) та Р(ЕВ) = сonst, (34.5) перепишемо у вигляді
(34.5)
Виразимо далі функцію Г (ЕАВ Е) через енергію Е системи А. При цьому треба мати на увазі, що енергія і число мікростанів мають абсолютно різні властивості: енергія адитивна, число мікростанів мультиплікативно. Цим властивостям можна задовольнити, якщо уявити
(34.6)
тут S(EAB E) – деяка нова функція аргументу Е; k – постійна Больцмана. Функція S, як і енергія, адитивна.
Оскільки передбачається Е ЕАВ, функцію S можнарозкласти в ряд за ступенями малої енергії Е і обмежитися першими членами розкладання
(34.7)
Позначимо
(34.8)
Вираз (34.8) єфункція статистичного розподілувідкритої системи абоканонічне розподілення Гіббса:воно визначає ймовірність виявити систему, здатну слабо обмінюватися енергією з великою системою в одному з Г(E) мікростанів з енергією Е(кількість частинок у системі передбачається незмінним).Розподіл Гіббса - найважливіше в сучасній фізиці.Воно включає багато приватних розподілів, наприклад, Максвелла, Больцмана, Фермі-Дірака та ін.
У коефіцієнт з (34.8) включені всі множники, що не залежать від властивостей системи А (наприклад, множник exp [S (EAB) / k]). Він визначається за умови нормування: сума ймовірностей всіх доступних підсистемі станів дорівнює одиниці Р(Е ) = 1, звідки
(34.9)
У системах, які з великої кількості частинок, рівні енергії Е розташовані настільки близько друг до друга, що дискретністю станів можна знехтувати. Інакше, системі доступні будь-які значення енергії, що безперервно змінюються. Такі системи називаютьсякласичними.У разі класичної системи можна (34.8) перейти від підсумовування до інтегрування. Для цього розбивають весь інтервал енергії на однакові малі складові dЕ. В межах кожного малого інтервалу dЕ значення експоненти exp(?Ek T) можна вважати незмінними. Число мікростанів в інтервалі енергій dE пропорційно до величини цього інтервалу, тобто. dГ = (Е) dE. Тут (Е) = dГ/dE -щільність мікростанів(їх число, що припадає на одиничний інтервал енергії в околицях значення Е). Таким чином, у класичній межі кожне доданок у сумі (34.9) має бутизамінено на
а підсумовування на інтегрування
(34.10)
Статистичний інтеграл (34.10) і сума (34.9) мають принципове значення у фізиці. Виявляється, одного їх значення достатньо для розрахунку середніх значень будь-яких макропараметрів.
Імовірність виявити класичну систему в будь-якому з мікростанів з енергією від Е до Е + dЕ, за аналогією з (34.8), становить
(34.11)
(34.12)
У наведених вище формулах та розподілах передбачалося, що кількість частинок у системі незмінна. Це обмеження можна було б зняти і отримати розподіл Гіббса для системи зі змінним числом частинок - так званийвеликий канонічне розподілення Гіббса.Одним з параметрів канонічного розподілу Гіббса є
(34.13)
T -є статистична температура. Іноді статистичною температурою називають добуток kT.