§ 39. Обчислення певного інтегралу
39.1. Формула Ньютона-Лейбніца
Простим та зручним методом обчислення певного інтеграла від безперервної функції є формула Ньютона-Лейбніца:
Застосовується цей метод у всіх випадках, коли може бути знайдена первинна функція F(x) для підінтегральної функції (х).
Наприклад,
При обчисленні певних інтегралів широко використовується метод заміни змінної та метод інтегрування частинами.
39.2. Інтегрування підстановкою (заміною змінної)
Нехай для обчислення інтеграла від безперервної функції
зроблено підстановку х = φ(t).
1) функція х = φ(t) та її похідна х' = φ'(t) безперервні при t є [а;β];
2) множиною значень функції х = φ(t) при t є [а,β] є відрізок [а; b];
▼ Нехай F(x) є первісною для ƒ(х) на відрізку [а;b]. Тоді за формулою Ньютона-ЛейбніцаТак як (F(φ(t))' = f(φ(t)) - φ'(t), то F(φ(t)) є первісною для функції f(φ(t)) -φ'(t), t Î [а;β], тому за формулою Ньютона-Лейбніца маємо
▲
Формула (39.1) називається формулою заміни змінної у певному інтегралі. Відмітимо, що:
1) при обчисленні певного інтеграла методом підстановки повертатися до старої змінної не потрібно;
2) часто замість підстановки х = φ(t) застосовують підстановку t = g(x);
3) не слід забувати змінювати межі інтегрування при заміні змінних!
Приклад 39.1. Обчислити
Рішення: Покладемо х = 2 sin t, тоді dx = 2 cos t dt. Якщо х = 0, то t = 0; якщо x = 2, то t =. Тому
39.3. Інтегрування частинами
▼ На відрізку [а; b] має місце рівність (uv)' = u'v+uv'. Отже, функція uv є первісною для безперервної функції u'v+uv'. Тоді за формулою Ньютона-Лейбніца маємо:
▲
Формула (39.2) називаєтьсяформулою інтегрування частинами для певного інтеграла.
Приклад 39.2. Обчислити
Застосовуючи формулу (39.2), отримуємо
Приклад 39.3. Обчислити інтеграл
Рішення: Інтегруємо частинами. Покладемо
39.4. Інтегрування парних та непарних функцій у симетричних межах
Нехай функція ƒ(х) безперервна на відрізку [-а; а], симетричному щодо точки х = 0. Доведемо, що
▼ Розіб'ємо відрізок інтегрування [-а; а] на частини [-а; 0] та [0; а]. Тоді за якістю адитивності
У першому інтегралі зробимо підстановку х = -t. Тоді
(згідно з властивістю: «певний інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування»). Повертаючись до рівності (39.4), отримаємо
Якщо функція ƒ(х) парна (ƒ(-х) = ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 2ƒ(х); якщо функція ƒ(х) непарна (ƒ(-х) = - ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 0. Отже, рівність (39.5) набуває вигляду (39.3). ▲
Завдяки доведеній формулі можна, наприклад, відразу, не роблячи обчислень, сказати, що