4. Декартові координати. Координатний метод у курсі геометрії.
Вперше ідея координатного методу була систематично розвинена П'єром Ферма та Рене Декартом. У їхньому формулюванні відстані до координатних осей могли бути тільки позитивними числами або нулем. Важлива ідея у тому, що одне чи обидві ці відстані можна вважати і негативними, належить І. Ньютону. А Лейбніц першим назвав ці відстані «координатами». Координатний метод справив справжній переворот у геометрії і у ній.
Метод координат дає універсальний спосіб поставити у відповідність геометричним об'єктам - фігурам, лініям і т. д. ті чи інші вирази алгебри або співвідношення. Інакше, метод координат – це спосіб перекладу з геометричної мови на мову алгебри, після чого геометричні проблеми перетворюються на алгебраїчні, і ми отримуємо можливість використовувати для вирішення геометричних завдань методи алгебри.
Відповідно до програми з математики для середньої загальноосвітньої школи координати вперше з'являються вже у 5-му класі щодо алгебраїчного матеріалу: «зображення чисел на прямий; …………..…». Відповідно до цієї програми в геометрії координати вивчаються в дев'ятому класі наприкінці першої чверті в наступному обсязі: «координати вектора; зв'язок між координатами вектора та координатами його початку та кінця; рівняння лінії на площині, рівняння кола та прямої; ».
Основною метою вивчення координатного методу – познайомити учнів із методом, відсутнім у класичній елементарній геометрії. Але тим, хто грає провідну роль у сучасній геометрії, показати учням застосування координатного методу до вирішення завдань.
З поняттям прямокутної системи координат учні вперше знайомляться у курсі алгебри 7 класу, коли починається вивчення функції.
Розглянемо приклад введення поняттяметоду координат за підручником Л.С.Атанасяна: введення системи координат дає можливість вивчати геометричні фігури та їх властивості за допомогою рівнянь та нерівностей та, таким чином, використовувати в геометрії методи алгебри. Такий підхід до вивчення властивостей геометричних постатей називається методом координат.
Потім учні знайомляться з такими важливими формулами як: 1. формула знаходження координат середини відрізка за умови, що координати кінців відрізка відомі: А (х1;у1), (х2; у2). С (х; у) – середина АВ.
розглядається два випадки: а) коли потрібно знайти середину відрізка С; б) коли потрібно знайти один кінець А. 2. формула обчислення довжини вектора за його координатами. 3. Формула для знаходження відстані між двома точками із заданими координатами: А (х1; у1), В (х2; у2).
окремий випадок цієї формули це формула обчислення довжини вектора за його координатами.
При вивченні ліній методом координат виникають дві задачі: 1) за геометричними властивостями цієї лінії знайти її рівняння; 2) обернена задача: за заданим рівнянням лінії дослідити її геометричні властивості.
У підручнику А.В. Погорєлова майже весь курс геометрії було викладено методом координат. Вони вводяться та використовуються з 7-го класу.
У підручнику Л.С. Атанасяна приділено спеціальний десятий розділ, але тільки після теми «Вектори».
Методика вивчення перетворення подоби.
Поняття подоби одна із найважливіших у курсі планіметрії. Учні знайомі з реальними предметами, що дають наочне уявлення про подібні фігури (географічні карти, фотографії, моделі автомобілів, кораблів тощо).
Перетворення подоби широко застосовується практично під час виконання креслень деталей машин, споруд, планів місцевості та інших. ці зображенняуявлення є подібні перетворення уявних зображень в натуральну величину. Коефіцієнт подібності у своїй називається масштабом.
Основна мета вивчення перетворення подоби - сформувати поняття подібних трикутників, виробити вміння застосовувати ознаки подоби трикутників.
А.В.Погорелов – 9 клас тема «Подібність фігур» (17ч)
Л.С.Атанасян – 8 клас тема «Подібні трикутники» (19ч)
І.Ф.Шарігін – 8 клас тема «Подібність» (20ч)
За А.В. Погорелову вивчення подоби фігур відводиться 17 годин. Вивчається у 9 класах до вивчення тем площі. Подібність фігур розділена на 9 тем. Наприкінці глави вводиться кути, вписані в коло та пропорційність відрізків хорд і січучих кола. На початку дається поняття гомотетії та подоби фігур. Потім розглядається подоба трикутників, ознаки подоби трикутників, подоба прямокутних трикутників.
Визначення (А.В. Погорелов). Перетворення фігур F називаєтьсяперетворенням подібностіякщо при цьому перетворення відстані між точками змінюється в те саме число разів, тобто для будь-яких двох точок X і Y фігури F і точки X' і Y' фігури F', які вони переходять, XY=кXY'.
Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності.
Ознаки подоби трикутників. Два трикутники подібні, якщо:
всі їхні відповідні кути рівні (досить рівність двох кутів);
всі їхні сторони пропорційні;
дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути, укладені між цими сторонами, дорівнюють.
Два прямокутні трикутники подібні, якщо:
їх катети пропорційні;
катет і гіпотенуза одного трикутника пропорційні катету тагіпотенузі іншого;
два кути трикутника дорівнюють двом кутам іншого.
Площі подібних постатей пропорційні квадратам їх подібних ліній (наприклад, сторін). Так, площі кіл пропорційні відношенню квадратів їх діаметрів (чи радіусів).
За Л.С. Атанасяну у розділі 7 подібні трикутники відводиться 19 годин. Основну увагу на чолі приділено подібним трикутникам. Вивчається у 8 класах після розділів чотирикутники та площі.
Визначення подібних трикутників дається на основі теореми про відношення площ трикутників, що мають по рівному куту, дуже просто доводять ознаки подібності трикутників. Вони широко використовують у курсі геометрії. Крім того, матеріал, пов'язаний з подібністю, дозволяє змістовно реалізувати міжпредметні зв'язки з алгеброю (пропорційність, рівняння, квадратне коріння) та з фізикою (наприклад, геометрична оптика). Наприкінці глави вводиться синус, косинус та тангенс гострого кута прямокутного трикутника.
При вивченні цієї теми слід пам'ятати, що властивості подібних фігур будуть багаторазово застосовуватися за подальшого вивчення курсу геометрії. Тому слід приділити значну увагу та час вирішення завдань, спрямованих на формування умінь доводити подібність трикутників з використанням ознак та обчислювати елементи подібних трикутників.
При вивченні ознак подібності досить довести дві ознаки, тому що перший доводиться з опорою на теорему про відношення площ трикутників, що мають рівні кути, а докази двох інших аналогічні. Застосування методу подібності трикутників до доказів теорем учні вивчають з прикладу теореми середньої лінії трикутника. З учнями математики, що цікавляться, можна розглянути завдання на побудову методом подібності.
Після вивчення подібних трикутників розглядається питання подібності довільних фігур інтуїтивної основі.
У курсі стереометрії на початку 11 класу 9 у параграфі «Перетворення подоби» (не обов'язковий пункт для вивчення на базовому рівні) дається таке визначення (Л.С. Атанасян): Перетворення подібності з коефіцієнтом до 0 називаєтьсявідображенняпростору він. При якому будь-які точки А і переходять в такі точки А1, В1, що А1=кВ1.
Два тіла називаютьсяподібними, якщо існує таке перетворення подібності, при якому одне з них переходить в інше.
Таким чином, ми розглянули два способи вивчення подібності трикутників: можна розглянути подібні трикутники як окремі випадки подібних фігур (А.В.Погорелов) або можна визначити подібні трикутники як трикутники, що мають відповідно пропорційні сторони і рівні кути (Л.С.Атанасян) .