§ 4. Директриси еліпса та гіперболи.

Визначення 1.6.Прямі х=

(а/ε), де ε - ексцентриситет еліпса (гіперболи) називаються директрисами еліпса (гіперболи).

Так як для еліпса ε 1, то директриси еліпса та гіперболи щодо цих кривих розташовані відповідно наступним чином (рис.9).

Теорема 1.1.Ставлення відстані від будь-якої точки еліпса

(Гіпербол) до фокусу до відстані до відповідної директриси є величина постійна, рівна ексцентриситету еліпса (гіпербол).

Доказ теореми проведемо для еліпса (рис.10), за-

даного рівнянням (1.2). Нехай точка М(х,у) належить еліпсу. Позначимо d1 - відстань від точки М до директриси х = (а / ε), d2 - відстань від точки М до директриси x = - (а / ε).

З (1.5) випливає, що

,

Для гіперболи доказ-

ство проводиться аналогічно. Ті-

Зауважимо, що тому що всі точ-

ки параболи рівновіддалені від ді-

ректриси і фокусу, то отно-

ня цих відстаней равно1. По-

цьому можна говорити про екс-

центриситет параболи і вважати

його рівним 1. Як уже зазначає-

лось, ексцентриситет кола

§ 5. Фокальний параметр еліпса та гіперболи

Нехай еліпс та гіпербола задані відповідно своїми кано-

нічними рівняннями виду (1.2) та (1.11). Проведемо через один із фокусів цих кривих пряму перпендикулярну до осі ОХ і позначимо точки її перетину з кривою через Р і Р' (рис.11).

Позначимо довжину відрізка РР через 2р. Тоді величина р(р 0)

називаєтьсяфокальним параметром еліпса (гіперболи).Обчислимо фокальний параметр цих кривих.

З канонічного рівняння еліпса випливає, що у =

і оскільки х =

с, то

значенняординати точки P(P').

Аналогічним чином для гіперболи отримуємо

і так як х =

с, то значення орди

Отже, фокальний параметр еліпса (гіперболи) дорівнює

(1.14)

Обчислимо тепер відстань d між фокусом та директрисою

Відстань між фокусом і директрисою гіперболи дорівнює

Так як для параболи з = 1 і d = р, то робимо наступний

Висновок:для еліпса (крім кола), гіперболи, параболи

фокальний параметр р дорівнює:

де c – ексцентриситет, d – відстань від фокусу до відповідної директриси.

Зауважимо, що для кола фокальний параметр дорівнює її

§ 6. Полярне рівняння еліпса, гіперболи, параболи

Як уже зазначалося раніше, рівняння кола з радіусом

і з центром у полюсі полярної системи координат має вигляд r=а

Виведемо полярне рівняння для відмінного від кола еліпса, параболи або правої гілки гіперболи. Для цього сумісний полюс полярної системи координат з лівим фокусом еліпса (правим фокусом гіперболи) або єдиним фокусом параболи, а полярну вісь направимо перпендикулярно до директриси d, що відповідає фокусу (рис.12). Позначимо через F, р та ε відповідно фокус, фокальний параметр та ексцентриситет кривої. Нехай М - довільна точка кривої, МF = r - полярний радіус точки М, φ - її полярний

кут. Тоді MF/МК = ε де МК = MN + NK Так як MN = rсоsφ

NК = р/ε, то r/((р/ε)+rсозφ)=ε. Отже,

(1.16)

полярне рівняння еліпса, відмінного від кола, параболи,правої гілки гіперболи.

Для лівої гілки гіперболи (рис.13) маємо MN = МК - KN, де

МК = rcos(180º-φ)=-rcosφ, NK = р/ε.

Оскільки MF/MN = r/MN = ε, тоr/(-rcosφ-(p/ε)> = ε

(1.17)

полярне рівняння лівої гілки гіперболи.

---