4 Вступ Цей посібник з’явився як результат факультативу та спецкурсу, прочитаних автором для

Якщо альтернативи не впорядковані, передбачається, що вибір робиться з урахуванням функції корисності u (Y, Z). Позначимо us(Z) = u(s, Z). У лінійній моделі us = Zs s + s де Zs - матриця регресорів, s - невідомі параметри. Зазвичай роблять одне з двох спрощують припущень: або що регресори всім альтернатив одні й самі: us = Z s + s, або що функція має той самий вид, а змінюються лише чинники, що визначають вибір, тобто. us = Zs+s. Yi вибирається рівним s, якщо us (Zi) & gt; ut (Zi) s t. У множині логіті приймається, що помилки s мають розподіл Вейбулла. Розподіл Вейбулла 4 у стандартній формі має функцію –X розподілу F(X) = e –e (див. рис. 3). Розподіл Вейбулла має такі важливі для аналізованої моделі властивостями: максимум кількох величин, розподілених по Вейбуллу, також розподілений по Вейбуллу, а різницю двох величин, розподілених по Вейбуллу, має логістичне розподіл. Використовуючи ці властивості, можна вивести, що у багатовимірному логіті s eZ s s Prob (Yi = s) = Pi =.

S t eZ t t = Імовірності не зміняться, якщо чисельник і знаменник унормувати, розділивши на e Z 0 :

s eZ s – Z Pis = S t 1 + eZ t – Z 0 t = Якщо сприймається, що s = s, то зручно позначити Zs – Z0 = Xs (s = 1. S), а якщо Zs = X s, то s – 0 можна замінити s.

Динамічна специфікація регресійної моделі У розділі розглядається, як можна побудувати модель, у якій змінними є часові ряди. Основним поняттям, що вживається прирозмові про регресійну модель для тимчасових рядів, є поняття лага. У буквальному значенні англійською lag - запізнення. Під лагом деякою змінною розуміють її значення у попередні періоди часу. Наприклад, для змінної Yt лагом у період буде Yt–. У векторному вигляді лаг змінної Y прийнято записувати як Y-. У термінології є певна неоднозначність. Часто лагом називають величину t –.

З іншого боку, лагом називають структуру, тобто. форму, в якій входять до моделі лаги деякої змінної.

Розподіл Вейбулла також іноді називають розподілом екстремального значення першого роду. Крім того, ім'ям Вейбулла називають інші розподіли, тому може виникнути плутанина.

Інший спосіб позначення лага – за допомогою лагового оператора. Його позначають буквою L (іноді B). Лаговий оператор – це лінійний оператор. З ним можна поводитися як зі змінною, але він повинен стояти перед тією змінною, до якої застосовується. L X означає X–1, L X = X–. Якщо n застосувати багаточлен від лага f(L) = anL+. + a1L + a 0 до змінної X, то вийде n n n i i f (L) X = (aiL) X = ai (L X) = ai X-i.

i=i=0 i=Інший оператор, що постійно використовується, — оператор різниці або абсолютного приросту, який визначається як 1 – L, так що X = X – X–1.

Друга різниця - двічі взятий оператор: 2 = (1 - L) 2 = 1 - 2 L + L і т.д.

Модель розподіленого лага Часто при моделюванні економічних процесів на залежну змінну впливають як поточні значення пояснюючого чинника, а й його лаги. Типовим прикладом є капіталовкладення: вони завжди дають результат із деяким лагом.

Модель розподіленого лага можна записати так:

q Y = + X - + = f (L) X +, = де q - величина найбільшого лага,f(z) = z - багаточлен. Коефіцієнти показують структуру лага і називаються вагами. Оцінювання цієї моделі може бути утруднено проблемою мультиколінеарності. Таке трапляється, якщо величина Xt мало змінюється з часом (якщо Xt - випадковий процес, це означає автокореляцію). У цьому неможливо точно оцінити структуру лага; хоча можна точно оцінити суму ваг. Останню можна вичленувати з моделі таким чином:

q q Y = + X + (X– – X)+, де =.

=1 =Це приклад перетворення форми регресійної моделі з тимчасовими рядами.

У разі мультиколлінеарності лагових змінних зазвичай на лагову структуру накладають якесь обмеження, щоб зменшити кількість оцінюваних коефіцієнтів. Одна з можливих структур лага - це поліноміальний лаг, ваги якого задаються поліном від величини лага :

p = 0 + 1 + 2 2 +. + p p = s s = 0. q.

s = де p - ступінь многочлена. Найпростіший поліноміальний лаг – лінійний. Для нього = 0 + 1. Його структуру можна подати на наступній діаграмі (Рис. 5).

q 0 1 Мал. Поліноміальний лаг накладають модель q – p лінійних обмежень. Зрозуміло при цьому, якщо модель була лінійною, то вона і залишиться лінійною. Розглянемо, як її можна оцінити.

Підставимо вирази для вихідної моделі.

q p p q p q X– = (s s) X– = s s X– = s Zs.

s=0 s==0 s=0 ==Отримаємо нову модель p Y = + s Zs + s = q з перетвореними регресорами Zs = s X-. Оцінивши s треба підставити їх у формулу для ваг.

При оцінюванні моделі з обмеженнями на структуру лага потрібно перевірити, чи правильно накладені обмеження. За допомогою відповідної F-статистики можна порівняти її з вихідною, необмеженою моделлю, оскільки вона є її окремим випадком. Модель q Y = + s Zs +s = еквівалентна вихідної моделі з точністю до лінійних перетворень, тому достатньо перевірити гіпотезу у тому, що останні q – p коефіцієнтів у ній (p+1. q) дорівнюють нулю.

Часто приймають, що ваги на кінцях поліноміальної лагової структури дорівнюють нулю. Ця вимога накладає модель додаткові обмеження.

Ще один популярний вид структури лага - експоненційний (геометричний) лаг. Його ваги задаються такими співвідношеннями:

Інтегровані процеси, хибна регресія та коінтеграція Стаціонарні та нестаціонарні випадкові процеси.

Yt = + Yt-1 + t, t = (-. 0,1. +) (Припускаємо, що t IID (0,2) - незалежні однаково розподілені випадкові величини з нульовим мат. очікуванням і дисперсією 2).

Слабке визначення стаціонарності вимагає, щоб математичне очікування Yt було постійним (або нульовим), а коваріації не залежали від часу, тільки від лага:

Yt = const (= 0), var (Yt) = Y = const, cov (Yt, Yt-) = c.

Покажемо, що якщо це буде “вибуховий” процес. Вплив минулих помилок у ньому не згасає, і дедалі більше посилюється з часом. Ми не розглядатимемо такі процеси.

Авторегресійний процес першого порядку при = 1 називають випадковим блуканням. Якщо = 0, це випадкове блукання у сенсі слова, а при 0 це випадкове блукання з дрейфом.

Немає сенсу розглядати випадкове блукання, що почалося нескінченно давно, оскільки за нескінченний час процес "іде в нескінченність", його дисперсія стає нескінченною.

Для процесу, що почався в момент t = 1, маємо:

t Yt = t + i + Y0, E (Yt) = t + Y.

Вона зростає безкінечно з часом.

У лівій частині цього рівняння перший множник - багаточлен першого ступеня від лага. Корінь цьогобагаточлена дорівнює 1/. При = 1 корінь многочлена дорівнює 1.

Якщо всі коріння многочлена f(.) по модулю більше 1, тобто лежать поза одиничного кола на комплексній площині, то процес стаціонарний. Якщо один із коренів лежить у межах одиничного кола, то процес “вибуховий”. Якщо ж k > 0 коренів лежать на одиничному колі, а решта - за її межами, то процес нестаціонарний, але не "вибуховий" і про нього говорять, що він має k одиничних коренів.

Якщо k-e різниці випадкового процесу стаціонарні, його називають інтегрованим k-го порядку і позначають I(k).

Розглянемо, наприклад, процес t zt = Yi, де Yt = Yt-1 + t.

i = Він буде I(2), тобто другі різниці (2zt) стаціонарні.

Хибна регресія Дуже часто економічні процеси бувають нестаціонарними. Як приклад можна навести обсяги виробництва, рівень цін. Рівень безробіття як відсоток працездатного населення це, з іншого боку, є прикладом стаціонарної змінної. У разі термін “стаціонарність” вжито над суворо сенсі. Скоріше мається на увазі, що дисперсія процесу обмежена.

Стаціонарність регресорів є дуже важливою умовою для оцінювання регресійних моделей. Якщо модель неправильно специфікована, і деякі з змінних, які неправильно включені, є I(1), то отримані оцінки будуть дуже поганими. Вони не володітимуть властивістю спроможності, тобто не сходитимуться ймовірно до справжніх значень параметрів у міру збільшення розмірів вибірки. Звичні показники, такі як коефіцієнт детермінації R2, t-статистики, F-статистики, будуть вказувати на наявність зв'язку там, де її насправді немає. Такий ефект називають хибною регресією.

Показати ефект помилкової регресії можна за допомогоюметоду МонтеКарло Згенеруємо досить багато разів дві випадкові блукання з незалежними нормально розподіленими помилками (t, t NID(0,1)):

Yt = Yt-1 + t, Xt = Xt-1 + t.

Оцінивши досить багато разів регресію Yt за константою та Xt виду Yt =a +bt+ut ми отримаємо експериментальний розподіл різних статистик.