40 Трансверсальні (нерекурсивні) цифрові фільтри
Так прийнято називати фільтри, які працюють відповідно до алгоритму
де - Послідовність коефіцієнтів.
Числоmє порядком трансверсального цифрового фільтра. Як видно з формули (15.1), трансверсальний фільтр проводить зважене підсумовування попередніх відліків вхідного сигналу та не використовують попередні відліки вихідного сигналу. Застосувавшиz-перетворення до обох частин виразу (15.1), переконуємося, що
Звідси випливає, що системна функція
є дробово-раціональною функцієюz, що маєm-кратний полюс приz= 0 іmнулів, координати яких визначаються коефіцієнтами фільтра.
Алгоритм функціонування трансверсального ЦФ пояснюється структурною схемою, наведеною на рис. 15.1.
Рис.15.1. Схема побудови трансверсального ЦФ
Основними елементами фільтра є блоки затримки відлікових значень на один інтервал дискретизації (прямокутники з символами ), а також масштабні блоки, що виконують у цифровій формі операції множення на відповідні коефіцієнти. З виходів масштабних блоків надходять до суматора, де, складаючись, утворюють відлік вихідного сигналу.
Вигляд представленої тут схеми пояснює сенс терміна «трансверсальний фільтр» (англ. transverse – поперечний).
Імпульсну характеристикутрансверсального ЦФ обчислимо, здійснивши зворотнеz-перетворення виразу (15.2). Легко бачити, що кожен доданокH(z)дає внесок, рівний коефіцієнту , зміщеному наnпозицій у бік запізнення. Таким чином, тут
Такого висновку можна дійти і безпосередньо, розглядаючи структурну схему фільтра (див. рис.15.1) і вважаючи, що на його вхід подано «поодинокий імпульс»(1,0,0,0,…).
Важливо, що імпульсна характеристика трансверсального фільтра містить кінцеве число членів.
Частотну характеристику можна отримати шляхом заміни змінної (15.2)
При заданому етапі дискретизації 𝛥 можна реалізувати найрізноманітніші форми АЧХ, підбираючи належним чином вагові коефіцієнти фільтра.
41 Рекурсивні цифрові фільтри.
Цей вид цифрових фільтрів характерний тим, що для формування i вихідного відліку використовуються попередні значення не тільки вхідного, але і вихідного сигналу:
причому коефіцієнти, що визначають рекурсивну частину алгоритму фільтрації, не дорівнюють нулю одночасно. Щоб підкреслити відмінність структур двох видів ЦФ, трансверсальні фільтри називають також нерекурсивними фільтрами.
Системна функція рекурсивного ЦФ.Виконавшиz-перетворення обох частин рекурентного співвідношення (15.5), знаходимо, що системна функція
Описує частотні властивості рекурсивного ЦФ має наz-площиніnполюсів. Якщо коефіцієнти рекурсивної частини алгоритму речові, ці полюси або лежать на речової осі, або утворюють комплексно-сполучені пари.
Структурна схема рекурсивного ЦФ.На рис.15.2 зображено схему алгоритму обчислень, що проводяться відповідно до формули (15.6). Верхня частина структурної схеми відповідає трансверсальної (некурсивної) частини алгоритму фільтрації. Для її реалізації потрібно у випадкуm+1 масштабних блоків (операцій множення) іmосередків пам'яті, у яких зберігаються вхідні відліки.
Мал.15.2. Структурна схема рекурсивного ЦФ
Рекурсивній частині алгоритму відповідає нижня частина структурної схеми. Тут використовуютьсяnпослідовних значень вихідного сигналу, які в процесі роботи фільтра переміщаються з комірки в комірку шляхом зсуву.
Недоліком даного принципу реалізації є потреба у великій кількості осередків пам'яті, окремо для рекурсивної та нерекурсивної частин. Більш досконаліканонічні схемирекурсивних ЦФ, в яких використовується мінімально можлива кількість осередків пам'яті, що дорівнює найбільшому з чиселmіn. Як приклад на рис 15.3 зображено структурну схему канонічного рекурсивного фільтра 2-го порядку, якій відповідає системна функція
Рис.15.3. Структурна схема канонічного рекурсивного ЦФ
Для того щоб переконатися в тому, що ця система реалізує задану функцію, розглянемо допоміжний дискретний сигнал на виході суматора1і запишемо два очевидні рівняння:
=+. (15.9)
Виконавшиz-перетворення рівняння (15.8), знаходимо, що
З іншого боку, відповідно до виразу (15.9)
Об'єднавши співвідношення (15.10) та (15.11), приходимо до заданої системної функції (15.7).