4.3. Перехідні процеси в RC-ланцюгах

Перехідні процеси в ланцюзі рис. 4.2 виникатимуть під час встановлення ключа К у положення 1 (нульові початкові умови) або 2 (ненульові початкові умови).

Мал. 4.2. RC-ланцюг а) та перехідні процеси в ній б) та в).

Перехідний процес у RC-ланцюзі за нульових початкових умов. Розглянемо випадок, як у вході ланцюга діє постійне напруга, тобто. u(t) = U. У момент t = 0 замкнемо ключ До положення 1 і підключимо постійну напругу до ланцюга. Під дією напруги U в ланцюзі протікатиме струм i, який створює на резисторі R падіння напруги і заряджає ємність C. На підставі другого закону Кірхгофа можна записати

. (4.16)

Вирішення цього рівняння будемо шукати у формі суми загального та приватного рішень, які визначають вільну та вимушену складові:

. (4.17)

Для визначення вільної складової необхідно знайти рішення однорідного диференціального рівняння, яке виходить із (4.16) при U = 0 і має вигляд:

. (4.18)

Загальне рішення рівняння (4.18) визначається виразом

, (4.19)

де А – стала інтегрування; p – корінь характеристичного рівняння, отриманого з (4.18) RCp + 1 = 0, звідки p = -1/RC = -1/τ, тоді (4.19) набуде вигляду

, (4.20)

де τ = RC – стала часу ланцюга.

У режимі (після заряду конденсатора) напруга на конденсаторі дорівнюватиме прикладеному до входу ланцюга напрузі, тобто. Вимушена складова визначається рівнянням:

. (4.21)

Підставляючи (4.20) і (4.21) в (4.17) матимемо

. (4.22)

Враховуючи, що в момент комутації t = 0 і uC = 0 з (4.22) знаходимо постійну інтегрування А = -U, тоді (4.20) набуде вигляду:

. (4.23)

Підставляючи (4.21) і (4.23) (4.17) отримуємо вираз, який визначає як змінюється напруга на виході RC-ланцюга при підключенні до її входу джерела постійної напруги

. (4.24)

Враховуючи (4.24) знаходимо вираз, що визначає зміну струму в ланцюзі

. (4.25)

Графіки зміни напруги (4.24) та струму (4.25), що пояснюють перехідний процес у RC-ланцюзі при заряді ємності зображені на рис. 4.2,б. З графіків видно, що в момент підключення до RC-ланцюга джерела постійної напруги струм в ланцюзі досягає максимального значення, а напруга на конденсаторі дорівнює нулю , тобто. ємність поводиться як короткозамкнутий ділянку ланцюга. Зі збільшенням часу струм зменшується, а напруга на ємності збільшується за експоненційним законом. Приt = 0 струм стає рівним нулю, а uC = U, тобто. ємність еквівалентна розриву ланцюга для постійного струму.

Розглянемо перехідний процес у RC-ланцюзі за нульових початкових умов, коли до входу ланцюга підключається гармонійна дія. У цьому випадку вимушена складова матиме вигляд:

, (4.26)

(4.27)

Враховуючи (4.20) та (4.26) знаходимо

. (4.28)

Постійну інтеграцію А визначимо виходячи з початкових умов, що за t = 0 uC = 0, тоді

Підставляючи А (4.28) знаходимо вираз, що визначає зміну UC при підключенні до RC-ланцюга гармонійного впливу

. (4.29)

Струм у ланцюзі визначається виразом

З виразу (4.29) видно, що при підключенні до RC-ланцюга з великою постійною часу гармонійного впливу в момент, коли φu = π - φ в ланцюгу можуть виникнути перенапруги досягають величини UCmax ≈ 2UmC. Якщо до ланцюга підключається гармонійний вплив, коли φu = π/2 – φ, то в ланцюзі немаєперехідного процесу і відразу настає режим, що встановився.

Перехідний процес у RC-ланцюзі за ненульових початкових умов. Перекладемо ключ До ланцюга рис. 4.2 у положення 2. При цьому відбудеться відключення ланцюга від джерела вхідного впливу та ємність буде підключена до резистори R.

До моменту комутації ємність була заряджена до напруги U і була запасена енергія WC = CU2/2. Після комутації ємність починає розряджатися і енергія витрачається на резисторі R. Перехідний процес, тобто. процес розряду ємності, що визначається рівнянням

. (4.30)

Рішенням рівняння (4.30) є вираз (4.20)

. (4.31)

Постійну інтегрування знаходимо з початкових умов, тобто. при t = 0 uC = U, тоді з (4.31) визначаємо А = U. Підставляючи значення А = U в (4.31) знаходимо вираз, що визначає зміну напруги в RC-ланцюзі при розряді ємності через резистор

. (4.32)

Струм у ланцюгу змінюється відповідно до виразу

. (4.33)

Знак (-) у рівнянні (4.33) означає, що струм розряду має зворотний напрямок струму заряду ємності.

Графіки зміни uC та i наведено на рис. 4.2, ст.

З графіків рис. 4.2,в і виразів (4.32) і (4.33) видно, що на початку розряду ємності (t = 0) струм у ланцюзі та напруга на ємності мають максимальні значення uC = U, i = -U/R. Зі збільшенням часу розряду напруга на ємності і струм у ланцюзі прагнуть нулю за експоненційним законом, тобто. в ланцюзі має місце перехідний процес. Тривалість перехідного процесу залежить від постійного часу ланцюга, який закінчується через час t 3τ. Вся енергія, запасена в конденсаторі, за час розряду перетворюється на резисторі R тепло.