7.П-1. Виробник снігоходів
Виробник снігоходів має зробити замовлення двигуни на 1 місяць роботи у зовнішнього постачальника. Час виконання цього замовлення постачальником – 2 місяці. Кампанія робить снігоходи на замовлення і кількість виробленої продукції визначається кількістю замовлень на снігоходи цього місяця. Яка кількість замовлень компанія матиме через 2 місяці (коли підійде замовлення від постачальника, який треба зробити сьогодні), невідомо, але попередній досвід дозволяє оцінити ймовірність різних рівнів попиту. Дані представлені у таблиці.
Якщо куплений двигун використовується в той місяць, для якого він куплений, він дає прибуток $300, якщо він залежується до наступного місяця, це спричиняє збитки $100.
Побудуйте таблицю виграшів та втрат. Використовуючи принцип максимуму очікуваної монетарної цінності, визначте:
який оптимальний розмір замовлення?
яка ціна досконалої інформації?
Як зміниться оптимальне рішення, якщо втрати від невикористаного вчасно двигуна становлять $300? Як зміниться вартість досконалої інформації?
Проаналізуйте, наскільки суттєво зміниться рішення, якщо ймовірності відомі з точністю не краще за 5 процентних пунктів.
Порівняйте висновки, до яких призводять критерії максиміну та мінімаксних жалювань, з рішенням на основі максимуму очікуваної монетарної цінності альтернативи.
Для того щоб побудувати таблицю виграшів і втрат необхідно визначитися, які значення попиту (сценарії майбутнього) ми вважатимемо за можливі і з яких передбачуваних розмірів замовлення ми вибиратимемо оптимальний (альтернативи).
Дана в умовах завдання таблиця розподілу ймовірностей різних значень попиту підштовхує до того, щоб як можливі значення попиту вибрати 6 чисел, відображених уній. Це особливо природно, оскільки цих рівнів попиту вже оцінено відповідні ймовірності.
Приймемо, що дане в умові розподіл ймовірностей попиту слід безпосередньо застосувати до місяця, що цікавить нас. Тоді, щоб уникнути непотрібних складнощів, як аналізованих альтернатив розміру замовлення природно вибрати самі значення, як і рівні попиту, подані в таблиці.
Тоді таблицею виграшів і втрат матиме 6x6=36 клітин, у кожному з яких необхідно підрахувати фінансовий виграш чи втрату. Якщо організувати таблицю так, як показано на малюнку (Рис. 260), то ці фінансові результати повинні утримуватися в осередках С4: Н9. Їх можна підрахувати для кожного з 36 варіантів розвитку подій окремо, але це втомлює і, головне, зовсім не на кшталт ідеології MS-Excel. Краще складемо формулу.
При різних варіантах замовлення та попиту може виникнути дві принципово різні ситуації.
= ЯКЩО ($B4
Розрахуємо величину EMV для кожної альтернативи, використовуючи функцію СУММПРОИЗВ(..). Для замовлення в 700 двигунів функція буде мати вигляд:
=СУМПРОИЗВ($С$11:$Н$11;С9:Н9). Посилання на рядок ймовірностей фіксоване. Помістимо цю формулу в комірку 19 і простягнемо вгору до комірки 14.
Величина EMV (Рис. 262) із зростанням замовлення змінюється немонотонно: спочатку зростає від 60 тис. до 102 тис., а потім зменшується до 90 тис. Максимальна величина середнього прибутку – 102 тис. – відповідає замовленню 500 двигунів.
Як показано в теоретичному вступі, додаткова інформація здатна збільшити наш очікуваний прибуток та зменшити ризик втрат. Обчислимо вартість досконалої інформації. Для цього спочатку, у рядку С10: Н10 визначимо максимальні виграші закожному сценарії майбутнього, використовуючи функцію = МАКС (..).
Для комірки С10 формула виглядатиме так: =МАКС(С4:С9). При протягуванні формули праворуч до осередку Н10, ми побачимо, що кожного разу зі стовпця прибутків вибирається значення осередку, розташованого на діагоналі таблиці.
Так як ймовірності кожного рівня попиту залишаються колишніми, ми можемо підрахувати очікувану монетарну цінність у гіпотетичному випадку володіння досконалою інформацією (тобто якщо кожен місяць якийсь ангел-охоронець підказуватиме нам точне значення попиту). Для цього просто дотягнемо формулу в комірці I9 вниз на одну комірку (рис. 263).
Виявляється, унікальне джерело досконалої інформації, яке щомісяця повідомляє нам точні значення майбутнього попиту, збільшує наш очікуваний прибуток всього на 18% (отримаємо 102 тис. замість 120 тис.). Ця величина і є досконалою інформацією EVPI, тобто. верхня межа ціни, яку ми готові платити за інформацію при виборі з альтернатив, що розглядаються, при даних сценаріях майбутнього.
Досконалу інформацію (особливо про попит) отримати неможливо. Недосконала інформація (заснована на експертних оцінках) завжди має імовірнісний характер і діє на статистичний розподіл ймовірностей, змінюючи його в той чи інший бік. Наприклад, якщо наші експерти з відділу маркетингу кажуть, що попит наступного місяця буде вищим за звичайний, це, очевидно, означає, що ймовірності високого попиту повинні збільшитися, а ймовірності низького попиту, навпаки, зменшитися. У таблиці ймовірність того, що попит не перевищить 400 двигунів, дорівнює 0,65 (0,15+0,25+0,25), а ймовірність того, що попит буде 500 двигунів і вище - 0,35. Тобто. ймовірність низького попиту майже вдвічі вища за ймовірністьвисокого. Припустимо, інформація експертів вирівнює ці ймовірності. Тоді розподіл ймовірностей можна записати, віднімаючи з перших трьох ймовірностей по 0.05, і додаючи стільки до останніх трьох ймовірностей (див. таблицю Рис. 264).
Оцінка розподілу ймовірностей під час обліку інформації
Імовірності при підвищеному попиті
Можливості при зниженому попиті
У свою чергу, якщо попит наступного місяця очікується нижчим, ніж у поточному, ми можемо оцінити зміну розподілу ймовірностей, зменшивши ймовірності високого попиту та збільшивши, відповідно, ймовірності низького (див. таблицю на рис. 206).
Для отриманих розподілів ймовірностей попиту необхідно повторити розрахунки максимального значення EMV. Скопіюємо побудовану раніше таблицю на два нових аркуші Excel (через команду Перемістити\Скопіювати.). Замінимо у цих аркушах ймовірності на нові та отримаємо наступний результат (Рис. 266).
Мал. 266 Розрахунок EMV альтернатив для зниженого попиту
Мал. 267 Розрахунок EMV альтернатив для підвищеного попиту
Як ми бачимо, при підвищеному попиті (Рис. 267) максимальне значення EMV (114 тис.) відповідає вибору або 500, або 600 двигунів. При зниженому попиті (Мал. 266) максимальне значення EMV (92 тис.) відповідає вибору 400 двигунів. Проте результат замовлення 500 двигунів лише на 2 тис. гірший.
Це означає, що якщо ми весь час замовлятимемо 500 двигунів і не реагуватимемо на сигнали про можливий підвищений або знижений попит, то фактично нічого не втратимо. Вибір 500 двигунів є оптимальним і залишається таким навіть при значних варіаціях ймовірностей сценаріїв майбутнього, що відображають можливі варіації попиту. Це невелике дослідження євідповіддю і питання про те, чи змінюється оптимальне рішення, якщо врахувати, що це ймовірності відомі нам із точністю не краще 5 процентних пунктів. Ми взяли два крайні випадки того, як може виглядати справжній розподіл ймовірностей попиту і, обране спочатку рішення - замовити 500 двигунів, практично не змінилося.
Поряд із розподілом ймовірностей попиту великий вплив на вироблення рішення має відносна величина можливих втрат. Ми говоримо відносна, оскільки значення має співвідношення величин прибутку від використання двигуна в кінцевому виробі та втрати від його зберігання протягом зайвого місяця. У початковій постановці завдання очікувані втрати втричі менше, ніж прибуток. Через це оптимальний розмір замовлення виходить вищим, ніж середнє значення щомісячного попиту. Ми, до речі, досі не підраховували, яким саме цей середній попит. Давайте зробимо це зараз.
Розрахунок середнього попиту робиться так само, як і очікуваної монетарної цінності, тільки тепер значення попиту ми множимо на відповідні ймовірності. Додамо в якусь комірку формулу = СУММПРОИЗВ($С$11 :$Н$11;С3:Н3).
Результат обчислення виявляється рівним 400 двигунів. Таким чином, ми отримали оптимальний розмір замовлення у 500 двигунів у середньому попиті 400 двигунів. Це пов'язано з тим, що прибуток від своєчасного використання двигуна вищий, ніж втрати від його зберігання протягом зайвого місяця.
У задачі питається, як зміниться рішення, якщо втрати сягають 300 одиниць. При цьому розмір прибутку з розрахунку на один двигун дорівнює втрат. Якщо згадати ідеологію одноперіодної моделі замовлення, зв'язок якої з цим завданням очевидний, то можна припустити, що в цих умовах найвигіднішевиявиться замовлення, що дорівнює середньому. Перевіримо це, змінивши у вихідній таблиці (Рис. 263) величину втрат на -0,3 тисяч (Рис. 268).
Як бачимо, оптимальне замовлення, відповідне максимальному значенню EMV=87 тис., справді дорівнює 400 двигунам. Побудована таблиця містить іншу цікаву, з погляду формування замовлення, інформацію. Наприклад, у тому, що ЕМV300=81 тис., a EMV500 = 78 тис., можна дійти невтішного висновку, що помилка у величині замовлення у менший бік обійдеться дешевше, ніж у бік завищення.
Загалом умови бізнесу погіршилися. Можливі втрати, якщо ми завищили оцінку попиту, збільшилися. Тому очікуваний прибуток при оптимальному розмірі замовлення і став меншим. Тут же відзначимо і ціну досконалої інформації (EVPI=33 тис.). Це відповідає загальному принципу, який зрозумілий та інтуїтивний: чим вищий ризик і ймовірні втрати, тим дорожча інформація.
Перевірте, що вартість досконалої інформації звертається в нуль, якщо можливі втрати статуту дорівнюють нулю. І знову все зрозуміло: якщо інформація не приносить додаткових грошей, вона нічого не варта!
Останнє питання завдання фактично теж пов'язане з точністю наявної в нас статистичної інформації. Припустимо, що статистики щодо снігоходів у нас немає. Наведені значення ймовірностей ми взяли з даних про попит будь-який близький товар, з експертних оцінок, але не впевнені, що вони справедливі у разі. Спробуємо в цій ситуації залучити оцінки за критеріями максиміну та мінімаксних жалю.
Оцінка за критерієм максиміну дуже проста і не вимагає будь-яких змін у виконаних вже розрахунках. Повернемося до початкової таблиці (Рис. 269). Згідно з критерієм максиміна, для кожної альтернативи потрібно вибрати тойсценарій майбутнього, за якого наш виграш мінімальний (це критерій песиміста - з нами станеться найгірше, яку б альтернативу ми не вибрали), а потім вибрати ту альтернативу, де це «найгірше» краще за всіх інших. У цьому завдання, незалежно від обраної альтернативи, найгірше - це найменший попит - 200 двигунів. Подивимося по таблиці, за якого замовлення прибуток для попиту 200 двигунів максимальна. Зрозуміло, що це 60 тис. і відповідає така величина прибутку замовлення 200 двигунів. Це і єоптимальне рішення за критерієм максиміну.
Для оцінки за критерієм мінімаксу необхідно побудувати таблицю втрачених можливостей. У цій таблиці на місці фінансового виграшу (або втрати) в кожній клітині повинна бути різниця між максимально можливим прибутком для даного рівня попиту (рядок С10: Н10) і прибутком з таблиці С4: Н9. Запишемо в комірку С15 формулу = С$10-С4 і поширимо її на всю другу таблицю С15: Н20.
Після цього нам потрібно вибрати для кожного розміру замовлення максимальні втрачені можливості (найгірше - за критерієм максимальних жалю). Додамо до таблиці стовпець "Макс, втрати". Запишемо в комірку I15 формулу = МАКС (С15: Н15) і простягнемо її вниз до комірки I20. Таким чином, ми отримали максимальні втрачені можливості кожної альтернативи - розміру замовлення. Зверніть увагу, що ці втрачені можливості мають різну природу. Усі числа вище діагоналі (тут наші втрачені можливості дорівнюють нулю, тому що замовлення виявилося точно рівним попиту) - це неотриманий прибуток. Числа нижче за діагональ - прямі фінансові втрати. Згідно з критерієм максимаксних жаль ми повинні враховувати ці два види втрат на рівних підставах.
Величина максимальних втрачених можливостей із збільшеннямрозміру замовлення теж змінюється немонотонно – спочатку зменшується, а потім зростає. Найменше значення цієї величини – 40 тис. – відповідає замовленню у 600 двигунів. Зауважте, що вибір за критерієм мінімаксних жаль залежить тільки від співвідношення прибутків і втрат і не враховує розподіл ймовірностей. Тим не менш, у даному випадку вибір виявляється близьким до вибору відповідно до критерію максимуму EMV.