8. Рівнопотужні множини

Якщо між елементами двох множин можна встановити взаємно однозначну відповідність, то кажуть, що ці множини рівносильні (або інакше еквівалентні). Дві кінцеві множини рівносильні тоді і тільки тоді, коли вони мають одне й те число елементів. Поняття рівноваги застосовно і до множин, що не є кінцевими; наприклад, як ми бачили, безліч всіх непарних позитивних чисел рівносильно безлічі всіх парних чисел, більших за сто.

У цьому випадку, однак, можуть мати місце факти, які, на перший погляд, здаються парадоксальними.

Так, наприклад, безліч усіх натуральних чисел рівномірно безлічі всіх парних позитивних чисел. Взаємно однозначне відповідність між елементами цих множин можна, наприклад, встановити, зіставивши кожному натуральному числу вдвічі більше позитивне число. Ми маємо тут, отже, приклад нескінченної множини, рівносильної деякої своєї правильної частини. Не існує жодної кінцевої множини, рівносильної будь-якої своєї правильної частини. Виникає питання, чи кожна нескінченна множина рівносильна якійсь своїй правильній частині. На це питання ми не зможемо відповісти, не приймаючи спеціальних аксіом. Однак про багато нескінченних множин, що зустрічаються в математиці, можна довести, що вони рівносильні деякій своїй правильній частині. Ми повернемося ще до цього питання згодом.

Щоб висловити, що дві множини М і рівносильні, пишуть Як легко помітити, ставлення — є симетричним (тобто слід) транзитивним (тобто слід) і рефлексивним (тобто для будь-якої множини М).