Алгебраїчне різноманіття
Алгебраїчне різноманіття- центральний об'єкт вивчення геометрії алгебри. Класичне визначення алгебраїчного різноманіття - безліч рішень системи рівнянь алгебри над дійсними або комплексними числами. Сучасні визначення узагальнюють його у різний спосіб, але намагаються зберегти геометричну інтуїцію, що відповідає цьому визначенню [1] .
Поняття алгебраїчного різноманіття має деяку подібність із поняттям гладкого різноманіття. Відмінність у тому, що алгебраїчні різноманіття, на відміну гладких різноманіттів, може мати особливі точки. Околиця неособливої точки дійсного алгебраїчного різноманіття ізоморфна гладкому різноманіттю.
Доведена близько 1800 року основна теорема алгебри встановила зв'язок між алгеброю і геометрією, показавши, що наведений багаточлен від однієї змінної (алгебраїчний об'єкт) однозначно визначається своїм комплексним корінням, тобто кінцевим безліччю точок на комплексній площині (геометричний об'єкт). Теорема Гільберта про нулі, узагальнюючи цей результат, встановила фундаментальну відповідність між ідеалами кільця багаточленів та алгебраїчними різноманіттями. Використовуючи теорему Гільберта про нулі і пов'язані з нею результати, математики встановили відповідність між питаннями про різноманіття алгебри і питаннями теорії кілець; використання подібних відповідностей є відмінною рисою геометрії алгебри.
Зміст
Існують різні типи алгебраїчних різноманітностей: афінні різноманіття, проектні різноманіття, квазіпроективні різноманіття. Алгебраїчне різноманіття у найбільш загальному сенсі виходить склейкою кількох квазіпроективних різноманітностей.
Афінні різноманіття
Нехайk— замкнене алгебраїчне поле (у класичній алгебраїчній геометрії — поле комплексних чисел); A n > -n-мірний афінний простір надk. Існує теорема з класичного аналізу, яка стверджує, що замкнуті підмножини R n ^> - Це в точності безлічі нулів всіляких функцій, що нескінченно диференціюються. [4] Топологія Заріського в певному сенсі переносить цю властивість на випадок поліноміальних функцій: при визначенні топології Заріського кожній множині багаточленів відnзмінних зіставляється безліч точок афінного простору, на яких всі ці члени дорівнюють нулю:
У випадку, колиV- алгебраїчне різноманіття, факторкільця кільця багаточленів за ідеаломI(V) називаєтьсякоординатним кільцемданого різноманіття, що зазвичай позначаєтьсяk[V]. Зауважимо, що безліч алгебриVє різноманіттям тоді і тільки тоді, колиI(V) — простий ідеал (або, еквівалентно, координатне кільце цілісне).
Проективні та квазіпроектні різноманіття
Нехайk— замкнене алгебраїчне поле і P n ^> -n-мірний проективний простір надk, тобто проективізація A n + 1 > . Жодний багаточлен не визначає функцію на цьому просторі (оскільки в однієї точки існує безліч різних однорідних координат), однак для однорідного багаточлена відn+ 1 змінної можна коректно визначити точки, в яких багаточлен дорівнює нулю (оскільки пропорційним однорідним координатам відповідають пропорційні значення однорідного багаточлена). Таким чином, множині однорідних багаточленівSможна зіставити безліч точокZ(S), в яких всі ці багаточлени дорівнюють нулю,це визначає топологію Заріського на проектному просторі.Проективне алгебраїчне різноманіття— це замкнене (у топології Зариського) підмножина проективного простору P n ^> . БезлічVможна зіставити однорідний ідеал, породжений однорідними многочленами, рівними нулю наV. Факторкільце по ньому називається однорідним координатним кільцем .
Квазіпроективне різноманіття- це відкрите підмножина проектного різноманіття. Зокрема, будь-яке афінне різноманіття ізоморфно квазіпроективне [5] .
Абстрактні алгебраїчні різноманіття
У класичній геометрії алгебри розглядалися тільки квазіпроективні різноманіття. Недоліком цього визначення є те, що доводиться фіксувати певне вкладення різноманіття в проектний простір: наприклад, P 1 × P 1 ^\times \mathbb
^> не можна називати різноманіттям до тих пір, поки не задано його вкладення в проектний простір (для завдання такого вкладення доводиться використовувати вкладення Сегре). До того ж, якщо алгебраїчне різноманіття можна вкласти в один проектний простір, його можна вкласти і в безліч інших, використовуючи композицію з вкладенням Веронезе. Далеко не очевидно, що властивості різноманіття (такі як властивість відображення між різноманіттями бути регулярним) не залежать від вибору такого вкладення.
Афінна пряма
Розглянемо многочлен з кільця C [x, y]: [x, y]: & gt;