Алгебраїчні багаточдени та їх коріння
Одночленомвід деякої літериxназивається алгебраїчне вираз , деa- деяке число,x- літера,n- ціле невід'ємне число. Одночлен ототожнюється із числомa, тобто. числа ми можемо розглядати як одночлени.
Одночлени називаютьсяподібними, якщо показники ступеня у букви однакові. Подібні одночлени можна складати за правилом: Ця дія називається приведенням подібних членів.
Многочленомназивається алгебраїчна сума одночленів.
Будь-який многочлен від однієї літериx(її часто називають змінною) після приведення подібних членів може бути записаний за спадаючими ступенями цієї літери у вигляді або за зростаючими ступенями Такий запис багаточлена називаєтьсяканонічної.
Якщо , то числоnназивають ступенем многочлена, коефіцієнт - старшим коефіцієнтом. Коефіцієнт називають вільним членом. Константу вважають багаточленом ступеня0, нульовому багаточлену ступінь не приписується. Ступінь многочленаPпозначатимемо так:deg P.
Якщо на многочлен дивитися як на символічний вираз, то виникає природне питання, що означає, що два багаточлени рівні між собою? Слово «рівність» використовується у двох різних сенсах.Алгебраїчний сенсрівності багаточленів: два багаточлени рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих одночленів. Для перевірки рівності багаточленів треба порівняти коефіцієнти за подібних одночленів. Зокрема, якщо многочлен містить лише одну літеру, треба порівняти коефіцієнти при однакових ступенях цієї літери.
Наприклад, рівність алгебри багаточленів відxі означає рівність коефіцієнтів:a=m,b=n, c=p, d=q.
Тотожний сенсрівності багаточленів: багаточлени рівні, якщо рівні їх значення при всіх значеннях літер, що входять в цей многочлен. Перевірити тотожну рівність багаточленів за таким визначенням неможливо, оскільки довелося б підставляти нескінченну кількість значень літер і це вистачило б цілого життя. Який же зв'язок між поняттями алгебраїчної та тотожної рівності багаточленів? В один бік зв'язок очевидний: якщо багаточлени рівні алгебраїчно, то вони рівні і тотожно, оскільки обидва багаточлени складаються з тих самих членів, і, підставляючи в них будь-які значення букв, ми матимемо збігаються числові висловлювання. Довести зворотне твердження, т. е. що з тотожної рівності многочленів слід їхню алгебраїчну рівність, нелегко. В основі цього факту лежить чудове твердження про багаточлени від однієї літери.
Теорема про тотожність.Для алгебраїчної рівності двох багаточленів від однієї літери достатньо перевірити рівність значень двох багаточленів, підставляючи замість літер числа у кількості, більшій, ніж ступінь цих багаточленів.