Альтернуючі Вузли І Зачеплення
Вузли і зачеплення, що мають альтернуючу діаграму (див. Вузлів і зачеплень діаграми), тобто таку проекцію в загальне положення на площину, при якій при обході кожної компоненти проходи зверху і знизу подвійних точок чергуються. Кожну діаграму можна перетворити на альтернуючу, змінивши в деяких подвійних точках проходи зверху і знизу. Нехай F – поверхня Зейферта. На відміну від загального випадку, нерівність де d - ступінь багаточлена Александера (див. Александера інваріанти), h - рід поверхні Зейферта і число компонент зачеплення k, стає для А. у. та з. рівністю. Тому рід А. з. може бути обчислений за будь-якою його альтернуючою діаграмою, і поверхня Зейферта виявляється поверхнею мінімального роду. Це показує також, що якщо діаграма нормована, тобто на площині проекції немає простого замкнутого контуру, який перетинає діаграму в одній подвійній точці, то зачеплення тривіально (див. Вузлів теорія). подвійних точок. Якщо такий контур є, то обертанням на частини діаграми, що лежить усередині нього, потужно зменшити кількість подвійних точок, зберігаючи діаграму альтернованою. Це дає алгоритм для вирішення питання про тривіальність А. в. та з. Крім того, якщо діаграма пов'язана, то зачеплення не розпадається, так як наведений поліном Александера зачеплення, що розпадається, дорівнює нулю. Матриця Александера обчислюється як матриця інцидентів деякого графа, звідки виводиться (див. [1], [2]), що - альтернуючий поліном, т. Е. Його коефіцієнти не нулі і їх знаки чергуються. Якщо то А. в. та з. є Нейвірта вузлами та зачепленнями. Для А. в. та з. число подвійних точок нормованої діаграми не більше ніж його детермінант. Групи А. в. та з. (Див. Вузлів і зачеплень групи).Подаються у вигляді вільноготвори з ототожненням двох вільних груп деякого рангу qпо підгрупі рангу Це уявлення виходить за допомогою теореми Ван Кампена, якщо простір зачеплення kразбить кордоном регулярної околиці щодо поверхні Зейферта, побудованої по альтернуючої діаграмі. Усі вузли стандартної таблиці (див. Вузлів таблиця). з неальтернуючими діаграмами є неальтернуючими вузлами. Не альтернує більшість паралельних вузлів, обмоток і т. п. [1] Murasugi K., "Osaka J. Math.", 1958, v. 10, p. 181-89; [2] Сrоwе1l Н. Н., "Ann. Math.", 1959, v. 69, p. 258-75; [3] Murasugi K., "Osaka J. Math.", I960, v. 12, p. 277-303. А. В. Чернявський.