Аналітична динаміка Нехай q
Нехай q — точка кривої Л, S — відрізок без контакту, що проходить через точку ?, a Pn, Pn+1 — дві послідовні точки перетину кривої З відрізком S, відповідні заданому (досить великому) значенню га. Розглянемо кільцеву область,
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ – БЕНДИКСОНА
обмежену зовні кривою Л, а зсередини - простий замкнутої кривої, складеної з дуги pnpn+i кривою і відрізка pn+iPn прямої S (рис. 92). При досить великому п ця область не має особливих точок, так що позитивна напівхарактеристика С, що починається з точки P0 всередині цієї області, в ній залишається. У міру того як крива прагне до Л, крива прагне до того ж граничного циклу. Справді, послідовні точки перетину З відрізком S лежать в інтервалах pnpn+i, pn+iPn+2, Рп+2Рп+з, ¦ ¦ ¦, оскільки дві траєкторії не можуть перетнутися одна з одною. Отже, при t - о крива З прагне до Л.
4) Якщо до граничного циклу Л зсередини прагне позитивна напівхарактеристика, то до нього не може зсередини прагнути негативна напівхарактеристика. Розглянемо, як і в п. 3), відрізок без контакту S, що проходить через точку д кривої Л. Послідовні точки перетину pi, р2, Рз, позитивної напівхарактеристики з відрізком S прагнуть точки q, і, отже, послідовні точки перетину негативної напівхарактеристики віддаляються від точки q. І тут граничний цикл Л називається стійким зсередини.
5) Якщо існує циклічна траєкторія Р така, що зсередини до неї не наближається ні позитивна, ні негативна напівхарактеристика, то області, обмеженої кривою Р, і поблизу неї проходить ще одна циклічна траєкторія.
Для доказу розглянемо точку q на кривійГ та відрізок без контакту S, що проходить через цю точку. Нехай P0 - точка на відрізку S, що лежить всередині області, обмеженої Г поблизу від q. Розглянемо позитивну напівхарактеристику, що починається у точці р0. Зображуюча точка або повертається в початкове положення р0, і тоді доведена теорема, або потрапляє на відрізок S в деяку точку pi. Якщо ця точка лежить між р0 і q то наступна точка перетину р2 виявиться між р4 і q і т. д. Послідовність [рп > буде сходитися до граничної точки, розташованої на відрізку paq. Цією граничною точкою не може бути точка q, бо тоді позитивна напівхарактеристика, що проходить через точку р0, прагнула б до траєкторії Г, що за умовою не має місця. Тому точки рп прагнуть до межі I, укладеному між P0 і q, а траєкторія прагне граничного циклу Л, що проходить через точку I. (Якщо точка pi не лежить між Po і q, то слід скористатися негативною напівхарактеристикою, що проходить через точку р0.)
6) Розглянемо випадок, коли Г є циклічною траєкторією і обмежується нею області є одна особлива точка р0, яка є вузлом або фокусом. Візьмемо точку q поблизу р0. Якщо особлива точка нестійка, то позитивна напівхарактеристика, що починається у точці q, неспроможна прагнути точці р0. Отже, вона повинна прагнути до граничного циклу, який або збігається з Г, або є іншою циклічною траєкторією, розташованою всередині області, обмеженою кривою Г. Негативна напівхарактеристика, що починається в точці q, при цьому прагне точки P0 і, можливо, входить до неї .
Якщо граничний цикд для позитивної напівхарактеристики, що починається в точці q, збігається з кривою Г, то в області, обмеженій цією кривою, не може бути іншихциклічних траєкторій. В іншому випадку позитивна напівхарактеристика, що починається в q, прагнула б до однієї з них, а не до Р. У цьому випадку Г називають найменшою циклічною траєкторією, що охоплює точку р0. З міркувань, подібних до тих, що ми проводили в п. 3), випливає, що позитивна напівхарактеристика, що починається в будь-якій точці q', що не збігається з р0 і лежить всередині області, обмеженою кривою Г, прагне цієї кривої, тоді як негативна напівхарактеристика , що починається в q', прагне точці р0.
Аналогічне становище має місце й тоді, коли точка р0 стійка. У цьому випадку позитивна напівхарактеристика, що починається в точці q', прагне точки P0, а відповідна негативна напівхарактеристика прагне Р.
7) В інших можливих випадках може бути кінцеве число циклічних траєкторій, що охоплюють одну особливу точку р0, або лічильна множина циклічних траєкторій. Як бачили, якщо р0 є особлива тічка типу центру, всі траєкторії можуть бути циклічними.
Якщо точка р0 оточена кінцевим числом циклічних траєкторій і є нестійкою, то найменша циклічна траєкторія, що охоплює р0 повинна бути стійка зсередини. У винятковому випадку вона може виявитися напівстійкою, тобто стійкою зсередини та нестійкою зовні. Цей останній випадок зустрічається дуже рідко, і, як правило, найменша циклічна траєкторія стійка, тобто стійка з обох боків. У випадку послідовні циклічні траєкторії або стійкі, або нестійкі. Попередня 178 179 180 181 182 183 .. 290 >> Наступна