Аналіз ланцюгів за допомогою загальної формули передачі графа.
Загальна формула передачі графа
Передача графа Ток зв. відношення сигналу у вузлі Хк до сигналу у вузлі-джерелі Х0:
Якщо джерелом є незалежна змінна, то сигнал у будь-якому вузлі Хк = ТокХо. У цьому розділі дамо висновок формули визначення Ток. Маємо граф.
Виходячи з рис 3.9 можна записати для кожного з вузлів рівняння.
Граф має три вузли, але в загальному випадку їх може бути як завгодно. Таким чином, рішення може бути отримано, якщо скласти та вирішити матрицю стану. Насамперед необхідно знайти визначник системи через передачі графа, який надалі називатимемо визначником графа.
Визначник графа дорівнює сумі алгебри складових, що включають одиницю, передачі всіх контурів і всіляких творів передач, що не стосуються контурів по два, по три і т.д. Знак кожного твору визначається множником (-1) до , де К-кількість контурів у даному творі. Це визначення можна виразити так
Тут L1, L 2 …. – передачі всіх контурів графа. Зірочка означає, що після перемноження виразів у круглих дужках необхідно виключити з результату всі співмножники, що містять твори передач, що стосуються контурів.
Покажемо це, використовуючи отриманий ранній граф. Граф (рис.3.8) має три контури:
,
Контури L1 і L2 так само, як і контури L2 і L3 попарно стосуються один одного. Тому
Твори L1L2, L2L3, L1L2L3 виключені, оскільки в них входять контура, що стосуються один одного. Після підстановки передач гілок отримаємо:
Звернімо увагу на одну обставину, яку приймаємо без доказу. Якщо користуватись загальними правилами складання графів, тодля пасивних лінійних ланцюгів передачі всіх контурів матимуть негативний знак. Так як при непарному числі контурів у творі знак через множник (-1) * так само повинен бути змінений на протилежний, у визначнику не можуть з'явитися негативні доданки.
Таким чином, при обчисленні передачі графа зручно скористатися наступним правилом. Склавши граф, виявляють його контури і знаходять знаменник-визначник графа. У чисельник записують суму передач всіх наявних шляхів Рк від вузла-джерела до вузла, сигнал у якому визначається. Кожну з цих передач множать на знаменник (визначник графа), у якому вважають нулю передачі контурів, яких цей шлях стосується.
Помножувачі передач колій умовимося називати алгебраїчними доповненнями колій та позначимо їх символом Δк. Загальна формула передачі графа набуде остаточного вигляду
,
Розглянемо тепер, як користуватися загальною формулою передачі графа для аналізу електричних кіл. Схему, зображену на рис.3.4, ми описали з допомогою графа рис.3.8. Тепер визначимо напругу Uс, залежно від прикладеного до кола Е.Д.С. е., тобто. Uс = ЕТ. Оскільки у графі сигнал Е знаходиться у вузлі-джерелі, для визначення передачі Т=Uc/E можна скористатися формулою передачі графа. Визначник графа Δ, є знаменником передачі Т, був знайдений раніше. Залишається визначити чисельник. Від вузла Е до вузла Uс веде лише один шлях, передача якого дорівнює 1-1/R1-1-1/ЈωС. Шлях цей стосується всіх контурів, отже, його додаток алгебри дорівнює одиниці. Нагадаємо, що додатком алгебри шляхом є визначник Δ, з якого виключені всі доданки, що містять передачі контурів, що стосуються шляху. Таким чином,
Е
Тепер за допомогою графа, що маєзнайдемо інші змінні ланцюги. Знаменник виразів будемо позначати просто символом Δ, не розкриваючи його змісту. При визначенні UR1 величина шляху дорівнює 1, сам шлях стосується першого і другого контурів, тому його доповнення до дорівнює визначнику, в якому слід покласти L1= L2=0 . Звідси
При визначенні IL величина шляху вже дорівнює 1/R1, тоді як додаток алгебри залишається колишнім, тому
Якщо треба знайти UL, передача шляху дорівнює JωL/R1, основа з тим самим доповненням, що й раніше
При визначенні Ic шлях, передача якого 1/R1, стосується вже трьох контурів, його доповнення дорівнює одиниці
Нарешті струм IR2 знаходимо, визначивши шлях до цього вузла 1/Jω-R1-R2 з доповненням, що дорівнює одиниці
I
Зазначимо тепер таку важливу перевагу методу графів: знаменники всіх змінних знаходять виключно просто, безпосередньо на вигляд графа. Застосування класичного чи матричного методів вимагало б цього розкладання у кожному разі окремого визначника.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно