АРБІТРАЖНА СХЕМА

Розстановка наголосів: АРБІТРА`ЖНА СХЕ`МА

АРБІТРАЖНА СХЕМА - правило, за к-ромом кожної гри з поділами (див. Кооперативна гра) ставиться у відповідність єдиний поділ цієї гри, зв. арбітражним рішенням. Спочатку А. с. були розглянуті Дж. Нешем [1] для гри двох осіб. Нехай u = 1, . un)> - безліч поділів, d = (d1, . dn) - точка status quo, тобто точка, що відповідає випадку, коли ніякий поділ не здійснюється, [R, d] - гра з поділами, u - її арбітражне рішення. Поділ u* зв. рішенням Неша, якщо

Рішення Неша і тільки воно задовольняє наступним аксіомам: 1) якщо f - лінійне незменшуване перетворення, то fu є арбітражне рішення гри [fR, fd] (інваріантність щодо перетворень корисності); 2) u ≥ d, u ∈ R і немає такого u ∈ R, щоб u ≥ u (оптимальність за Парето); 3) якщо R' ⊂ R, d' = d, u ∈ R ', то u ' = u (незалежність незв'язаних альтернатив); 4) якщо di = dj, i, j = 1, . n і R симетрична, то ui = uj, i, j = 1, . n (симетрія).

Іншу А. с. з характеристич. функцією v(S), S ⊂ N = (1, . n) для ігор n осіб дав Л. С. Шеплі [2]. Рішення Шеплі φ (v) = (φ1 (v), . φn (v)), де

γn(s) = (s - 1)!(n - s)!/n!, s - число елементів множини S, також задовольняє аксіомі симетрії, крім того, ∑i φi (v) = v(N) і для будь-яких двох ігор u та v виконується φ(u + v) = φ(u) + φ(v). Були також розглянуті А. с. для випадку порівнянних індивідуальних виграшів (див. [3]).

Арбітражні схеми Дж. Неша та Л. С. Шеплі узагальнив Дж. Харшаньї [4]. Рішення Харшаньї, крім відповідних чотирьох аксіом Неша, задовольняє ще двом аксіомам: 1) рішення монотонно залежить від обґрунтованих вимог гравця; 2) якщо u* та u** - рішення, то рішенням буде і u¯,

якщо тільки u належить кордону множини R.

А. с. безперервно залежать від параметрів гри, якщо R є кращі поділки, ніж точка status quo.

Літ. : [1] Nash J., "Econometrica", 1950, т. 18, № 2, p. 155-62; [2] Shapleу L. S., в кн. : Contributions to theory of games, v. 2, Princeton (NJ), 1953, p. 307-17; [3] Raiffa H., у кн. : Contributions to theory of games, v. 2, Princeton (NJ), 1953, p. 361-87; [4] Harsanyi J. C, в кн. : Contributions to theory of games, v. 4, Princeton (NJ), 1959, p. 325-55.

  1. Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.