Автор статті Попов Олег Олександрович
Автор статті: Попов Олег Олександрович.
Приклад обчислення норм тесту
У статті описується процедура створення норм тесту.
1. Знаходження рівнів: низький, середній, високий.
Для розрахунків використовуємо дані тесту САТ, зокрема шкали Sr – «Самовагу». Було протестовано 118 осіб віком 19-23 років.
Для виведення норм тесту необхідно перевірити розподіл отриманих даних. Т.к. більшість методів стандартизації ґрунтується на нормальному розподілі, то необхідно перевірити, чи відповідає отриманий розподіл балів нормальному.
Будуємо діаграму розподілу.
Візуально, розподіл відповідає нормальному.
Перевіримо параметри розподілу.
| Параметр | САТ (самоповагу) |
| У чол. | 118 |
| Середнє | 8,53 |
| Медіана | 8 |
| Мода | 8 |
| Частота моди | 22 |
| Мінімум | 1 |
| Максимум | 15 |
| Стандартне вимк. (σ) | 2,74 |
| Помилка середнього | 0,25 |
| Асиметрія | -0,09 |
| Ексцес | -0,17 |
| Тест Шапіро-Вилка | SW-W=0,98 (p=0,15) |
Для перевірки нормальності використовується тест Шапіро-Вилка. Інтерпретація його значення дещо відрізняється від стандарту. Чим менший результат (р більше 0,05), тим паче розподіл наближено до нормального. Інші параметри також свідчать на користь нормальності. Середнє,медіана та мода фактично рівні, асиметрія та ексцес мають дуже маленькі значення, помилка середнього так само невелика.
Таким чином, ми можемо використовувати методи стандартизації на основі нормального розподілу.
^ 1. Знаходження рівнів: низький, середній, високий.
Це найпростіший вид стандартизації. Для виділення рівнів нам знадобиться два показники: середнє арифметичне (m) та стандартне відхилення (σ).
Ми можемо виділити рівні так, щоб у середні потрапляло 50% усієї вибірки згідно з теоретичним розподілом.
Кордон низьких балів = m - ⅔σ = 8,53 - ⅔2,74 = 8,53 - 1,82 = 6,71
Кордон високих балів = m + ⅔σ = 8,53 + ⅔2,74 = 8,53 + 1,82 = 10,35
У зв'язку з тим, що наш розподіл значимо не відрізняється від теоретичного, ми припускаємо, що розподіл людей за виділеними інтервалами приблизно відповідатиме теоретичному. Перевіримо це:
Низькі бали = 25 чол. = 21,18%
Середні бали = 66 чол. = 55,93%
Високі бали = 27 чол. = 22,8%
Як бачимо, отриманий розподіл із невеликою похибкою відповідає очікуваному.
Використовуючи критерій хі-квадрат (chi-square, χ²), ми можемо статистично підтвердити наші висновки. Для цього побудуємо таблицю та зробимо розрахунки:
| Емпіричне | Теоретичне | (Е-Т)²/Т |
| 21,18 | 25 | 0,58 |
| 55,93 | 50 | 0,7 |
| 22,8 | 25 | 0,19 |
Отримане значення 147 є емпіричним значенням критерію. Його необхідно порівняти з критичним, яке шукається в таблиці критичнихзначень. Для пошуку нам знадобиться значення df (кількість ступенів свободи). df = n-1 = 3 - 1 = 2. У таблиці знаходимо для рівня значущості p = 0,05 і df = 2 критичне значення 5,99. Т.к. 1,47 ^ Розрахунок рівнів у Excel.
Для розрахунків рівнів Excel нам знадобляться такі функції.
1. СРЗНАЧ (діапазон) – середнє арифметичне діапазону чисел
2. СТАНДОТКЛОН (діапазон) – знаходить стандартне відхилення.
3. РАХУНКИ (діапазон; умова) – підраховує кількість чисел у діапазоні, що відповідають умові.
Зразок розрахунків подано на наступному скріншоті. Розберемо його докладніше.
Для початку ми підраховуємо середнє арифметичне та стандартне відхилення (рядок 120-121). Далі визначаємо межі балів (122-123). У рядку 124 вводимо кількість осіб. У рядку 125 визначаємо кількість осіб у низьких балах. У рядку 127 у високих. Рядок 126 – із середніми балами знаходимо як різницю загальної кількості та низьких+високих.
Пояснення до функції РАХУНКИ. Умова, що задається в цій функції, передається як текст, тому вона полягає в лапки (на відміну від чисел, які в лапки не полягають). За умови знак & позначає лише об'єднання двох текстових значень: наприклад, ми об'єднуємо текст “
| Сирий бал | Стен |
| 1-3 | 1 |
| 4 | 2 |
| 5 | 3 |
| 6-7 | 4 |
| 8 | 5 |
| 9 | 6 |
| 10-11 | 7 |
| 12 | 8 |
| 13-14 | 9 |
| 15 | 10 |
Або скоротившиформулу стандартизації (як у школі вчили),вивести коротку формулу:
Для нашого прикладу, Стен = 0,73 ∙ сирий бал – 0,73
^ Розрахунок стенів в Excel
Для розрахунку стенових балів нам знадобиться три функції, дві з яких нам уже відомі – це СРЗНАЧ та СТАНДОТКЛОН. І одна нова функція:
НОРМАЛІЗАЦІЯ. Цю функцію потрібно повідомити середнє арифметичне (m), стандартне відхилення (σ) та конкретне число (x) з масиву. Функція здійснює наступний розрахунок:
Таким чином, функція НОРМАЛІЗАЦІЯ стандартизує сирі бали в z-шкалу, яка є основою для стенів, станайнів, Т-балів та IQ балів.
Щоб на основі z-шкали створити будь-яку перераховану, потрібно знати нове середнє арифметичне та нове стандартне відхилення.
(x-m)/σ – обчислює функція НОРМАЛІЗАЦІЯ
В Excel формула виглядатиме так:
= 2 ∙ НОРМАЛІЗАЦІЯ (сирий бал; середнє; станд. відкл) + 5,5
Станайн аналогічний стену за змістом і відрізняється лише тим, що використовується не 10-ти бальна шкала, а 9-ти бальна.
Для станайна середнє = 5, стандартне відхилення = 2. Таким чином,формула стандартизаціївиглядатиме так:
Станайн = 2 ∙ (x-m)/σ + 5, де:
х – конкретне значення,
m – середнє арифметичне досліджуваної вибірки,
σ – стандартне відхилення досліджуваної вибірки.
Складемо таблицю переведення в станайни:
| Сирий бал | Станайн |
| 1-3 | 1 |
| 4-5 | 2 |
| 6 | 3 |
| 7 | 4 |
| 8-9 | 5 |
| 10 | 6 |
| 11 | 7 |
| 12-13 | 8 |
| 14-15 | 9 |
Для нашого прикладу, Станайн = 0,73 ∙ сирий бал – 0,23
^ Другий спосібпереведення в станайни - за допомогою таблиці відсоткових розподілів - не є точним і працює тільки якщо розподіл даних практично ідеально нормальний.
Т-бали мають той самий принцип перекладу, що й стени та станайни. Найчастіше Т-бали використовуються для стандартизації сирих балів, що мають великий розмах (різницю між хв. та макс. балами). Наприклад, Т-бали застосовують у тесті MMPI та її вітчизняної адаптації ЗМІЛ.
У Т-балах середнє = 50 стандартне відхилення = 10.
Формула для переведення до Т-балів.
Т-бал = 10 ∙ (x-m)/σ + 50, де:
х – конкретне значення,
m – середнє арифметичне досліджуваної вибірки,
σ – стандартне відхилення досліджуваної вибірки.
Будувати таблицю перекладу даних із нашого прикладу недоцільно, т.к. їх розмах дуже невеликий, переведення в Т-бали не рекомендується. Однак принципи побудови таблиці такі ж, як у попередніх прикладах.
Розрахунки Т-балів в Excel аналогічні розрахункам стенів.
Для IQ-балів середнє арифметичне = 100 стандартне відхилення 15.
Для нашого прикладу переклад IQ не актуальний, т.к. IQ – це традиційна шкала для тестів інтелекту, крім того, розмах наших даних дуже невеликий.
Формула для переведення в IQ бали:
IQ = 15 ∙ (x-m)/σ + 100, де:
х – конкретне значення,
m – середнє арифметичне досліджуваної вибірки,
σ – стандартне відхилення досліджуваної вибірки.
Розрахунок IQ-балів в Excelаналогічний розрахункам стенів.
Процентиль може використовуватись для стандартизації як нормально розподілених балів, так і даних з ненормальним розподілом. У шкалі відсотків немає поняття середнього арифметичного та стандартного відхилення. Відсоток – це відсоток людей із вибірки, які набрали стільки ж чи менше балів, ніж конкретна людина.
Для розрахунку процентиля потрібно:
1. Для кожної людини порахувати, скільки людей набрало стільки ж або менше балів.
2. Порахувати скільки відсотків становить цю кількість від усієї вибірки.
Відсоток є поширеною шкалою стандартизації, т.к. дуже зручний та зрозумілий. Його діапазон від 1 до 100.
Після розрахунку відсотків можна скласти таблицю стандартизації. Для наших балів вона виглядатиме так:
| Сирий бал | Процентиль |
| 1 | 1 |
| 3 | 4 |
| 4 | 8 |
| 5 | 14 |
| 6 | 21 |
| 7 | 33 |
| 8 | 52 |
| 9 | 65 |
| 10 | 77 |
| 11 | 84 |
| 12 | 92 |
| 13 | 97 |
| 14 | 99 |
| 15 | 100 |
^ Розрахунок процентилей в Excel
Для розрахунку відсотків нам знадобиться вже знайома функція РАХУНКИ.
Для розрахунку для кожного значення потрібно ввести формулу:
=(РАХУНКИ(діапазон;умова)*100)/N , де N – кількість осіб.
^ Пояснимо деякі символи.
Раніше ми розглянули значення символу & у формулах. Тепер розглянемо значення символу $.
1. Середня арифметична будь-яка стандартизована шкала дорівнюватиме стандартному середньому арифметичному шкали стандартизації. Наприклад, ми досліджували самооцінку за 10 якостями. Побудувавши профіль самооцінки, ми можемо побачити відмінності, але якщо стандартизуємо кожну шкалу в стени, профіль буде рівним, тобто. відображати середнє арифметичне - 5. Однак, якщо ми використовуємо норми, створені кимось іншим, то в такій ситуації не будемо.
2. Деякі випробування вже містять норми. Однак, крім норм, необхідно знати на якій кількості людей вони виводилися, в якому році, в якій країні і чи нормальний розподіл. Від усіх цих факторів залежить, чи ми можемо застосовувати норми тесту. Цілком зрозуміло, що норми, пораховані на 50-ти московських школярах за часів перебудови, є абсолютно непридатними у 21 столітті в українській сільській школі. Якщо ми використовуємо непридатні норми, можемо отримати зовсім неадекватні висновки з дослідження.