Бернд Зондек Переклад з англійської Івко ЇЇ Чисельне моделювання випадкових процесів
Випадкові процеси використовуються уявлення різноманітних явищ. У цій доповіді описується генератор випадкових процесів, корисний для досліджень моделювання за допомогою комп'ютера. Ця доповідь була розглянута Джоном Х. Волкером, Дж.
Метод було отримано для моделювання одновимірних стаціонарних випадкових процесів з автокореляційною функцією, заданою кінцевою тригонометричною сумою. Коефіцієнти останньої – некорельовані випадкові числа. Надається сувора оцінка ступеня наближення до автокореляційної функції. Метод є досить загальним і вимагає спектральної функції у тому, щоб бути раціональним.
Зміст
Моделювання одномірного стаціонарного в широкому розумінні випадкового процесу із заданим середнім та автокореляцією
Чи апроксимує процес процес?
Стаціонарність і нормальність у вузькому значенні
1. Введення
Випадкові процеси [1, 2] використовуються для представлення явищ у різних областях.
Має важливе значення мати обчислювальні алгоритми генерації випадкових процесів для проведення досліджень з моделювання на комп'ютері.
У цій доповіді ми дотримуватимемося умов виділення всіх ймовірнісних величин.
Загалом метод використовує поєднання незалежних випадкових величин для генерації стаціонарного випадкового процесу з певною автокореляцією. Отже, можна моделювати процес на ЕОМ з допомогою «генератора випадкових чисел». Ця доповідь обмежується обговоренням одновимірних стохастичних процесів.
2. Моделювання одновимірного стаціонарного у широкому розумінні випадкового процесу із заданою автокореляцією
Нехай середній стаціонарний процес дорівнює нулю, а автокореляція – . Спектральна функція[1, стор 338] задана таким чином:
Ми маємо тут і одразу припускали, що лінійного спектру немає.
Тепер ми можемо побудувати стохастичний процес, який має дане середнє, має приблизно цю функцію автокореляції і залежить лише від числа дискретних випадкових величин. Ми продовжуємо розподіляти частотний діапазон на окремі проміжки часу. Позначимо розмір інтервалу. Це збільшення має бути невеликим у певному сенсі, щоб бути визначено пізніше. Визначимо величини:
Ці величини, очевидно, невід'ємні і представляють енергію в діапазоні частот від до . Тепер візьмемо дискретний набір комплексних випадкових величин, що задовольняють:
Нині, звісно, ці умови не визначають випадкові величини однозначно. Однак усі випадкові процеси, що визначаються таким чином:
мають деякі загальними властивостями. У нас є
Таким чином, процеси мають таку ж середню та сумарну потужність, як процес .
Досліджуємо тепер автокореляцію. Із формул. (7), (8) ми маємо:
Отже, стаціонарні у сенсі, та його автокореляційна функція відрізняється від . Оцінимо різницю. Наскільки добре апроксимує? Ми можемо написати:
Кожне доданок (13) може бути записано як:
Тому ми можемо написати для різниці необхідної та моделюваної автокореляційних функцій:
Розмір остаточного висловлювання може бути легко оцінена. Коли:
Ми маємо нерівність:
Отже, за теоремою інтегрального обчислення про перший середній, ми маємо таку нерівність:
Рівняння (15), таким чином, дає нерівність:
Як видно з цієї нерівності, для того, щоб апроксимувати в діапазоні , ми повинні вибрати збільшення частоти ,таке, щоб:
Крім того, ми бачимо, що яке б мале ми не вибрали, не буде апроксимувати для всіх. Це пов'язано з тим, що процес включає лише дискретний набір частот.
Нерівність (19) дає нам ефект дискретизації частоти автокореляційну функцію. Для цілей чисельного моделювання ми повинні також оцінити вплив обриву ряду (9). На відміну від частоти дискретизації, обрив впливає повну потужність відповідно до рівнянням (11). Якщо ми обриваємо після , потужність буде скорочена відповідно до (11):
Допустимо, ми хочемо імітувати випадковий процес з автокореляційною функцією:
Його спектральна функція [1, с. 340]:
Ми можемо визначити кореляційну різницю як:
Припустимо, ми хочемо представити автокореляційну функцію з точністю до повної потужності через різницю m кореляційних різниць. Максимальна затримка задається таким виразом:
Помилка автокореляційної функції через дискретизацію задовольняє, відповідно до формули (19):
Помилка, пов'язана з урвищем, задовольняє відповідно до формули (21):
І таким чином:
Ми хотіли б, щоб ця рівність задовольнялася якнайменшим значенням N. Мінімізація виразу зліва з урахуванням дає:
Підстановка цього значення (31) дає:
Якщо, наприклад, ми хочемо точність 10% при 100 кореляційних різницях, кількість необхідних членів:
4. Чи апроксимує процес процес?
Ми могли б схилятися до того, щоб думати, що процес, побудований вищезазначеним чином, апроксимує в певному сенсі процес. Однак це справедливо, тільки якщо (див. [1, с. 461]):
задовольняє всім умовам, вираженим (4) - (8) і процес тоді апроксимує в середньоквадратичномусенсі, як описано на засланні.
5. Стаціонарність і нормальність у вузькому значенні
Може бути корисно для деяких програм мати можливість генерувати випадкові процеси, стаціонарні у вузькому значенні. Випадкові процеси, як визначено формулами (3) – (9), здебільшого стаціонарні лише у сенсі. Ми можемо показати це, розглядаючи такий приклад. Запишемо:
Нехай і взаємно незалежні випадкові величини. Нехай має таку щільність ймовірності:
де - будь-яке поєднання чисел, не всіх рівних нулю. З цього випливає, що рівняння (4) - (8) виконані і процес:
стаціонарний у сенсі. Однак він не стаціонарний у вузькому значенні, що може бути показано, якщо помітити, що:
що не є константою.
Може бути показано, що якщо і взаємно незалежні, задовольняють рівнянням (39), (42) – (44) і рівномірно розподілені на інтервалі від до і задовольняють рівнянню (40), процес , описаний рівнянням (46), є стаціонарним у вузькому сенсі .
Можна генерувати нормальний процес описаним методом (для існування нормальних процесів див. [2, c. 72]. У цьому випадку стаціонарність у широкому розумінні має на увазі стаціонарність у вузькому сенсі. Нормальність часто приймається, якщо моделюється процес є не до кінця відомим. Різні теоретичні результати Що стосується зразкових розподілів, можуть бути отримані для нормального процесу.
Щоб генерувати нормальний процес, запишемо:
Ми можемо переписати (9) як:
Виберемо і як взаємно незалежні нормальні випадкові величини, що задовольняють:
Ці рівняння містять у собі рівняння (4) – (8). Тепер, оскільки є лінійною комбінацією нормальних випадкових величин, це нормальний процес істаціонарний у вузькому значенні.
Ми можемо довести, що нормальний процес, який ми тільки що описали, має властивість «випадкової фази», а саме випадкові величини , визначені як:
взаємно незалежні та розподілені рівномірно. Справді, випадкова величина:
розподілено відповідно до розподілу Стьюдента з одним ступенем свободи [3, c. 237].
Розподіл Стьюдента зводиться для одного ступеня волі до розподілу Коші [3, с. 246]. Щільність ймовірності:
Звідси легко вивести, що щільність ймовірності для :
Від випадкових фаз часто вимагають подання різних явищ у часовій області.
6. Висновок
Ми надали метод для моделювання стаціонарних випадкових процесів чисельно. Метод є досить загальним і залежить від спектральної функції, будучи раціональним. Він вимагає лише генератор випадкових чисел та необхідну обчислювальну потужність.
- Athanasios Papoulis. Probability, Random Variables, і Stochastic Processes. - McGraw-Hill, 1965.
J. L. Doob. Stochastic Processes. - John Wiley, 1967.