Better Explained Як розвинути математичну інтуїцію

Перекладаємо ще одну статтю з циклу статей Better Explained, які перетворюють знайомство з математикою на просте та захоплююче заняття. Сьогодні поговоримо про те, як сформувати математичну інтуїцію та побачити просте за складним.

Наше перше уявлення про якесь явище формується завдяки нашій інтуїції. І саме від ступеня нашого інтуїтивного сприйняття та розуміння залежить той ступінь задоволення, який ми отримаємо від вивчення тієї чи іншої концепції.

Розберемо приклад. Допустимо, нам потрібно дати визначення поняття «кіт».

Визначення печерної людини: Кіт — це пухнаста тварина з кігтями, зубами, хвостом, чотирма лапами, яка муркотить у гарному настрої і шипить у поганому…

Визначення теорії еволюції: Кіт - це ссавець сімейства котячих з певним набором характеристик ...

Сучасне визначення: Ха, і ви називаєте це визначеннями? Кіт – це тварина з наступним набором ДНК: ACATACATACAT…

Сучасне визначення, звісно, абсолютно точно. Але чи найкраще це визначення? Чи використовували ви його при розмові з дитиною? Чи дає воно повне уявлення про «кошатість»? Ні. Сучасне визначення корисне тільки якщо ви вже знаєте, хто такий кіт. Це визначення не може стати відправною точкою для людини, яка ніколи не бачила кота.

На жаль, математичне мислення близьке саме до третього ДНК-визначення. Нас навчають сучасним точним визначенням, а не тим ідеям, які привели до цих формулювань. Нас залишають віч-на-віч із довгими формулами (тим самим набором ДНК), не даючи ні найменшого уявлення про саме явище.

Скриншот з мультсеріалу Adventure Time,де знання математики рятує принцесу

Спробуймо подивитися на ідеї під іншим кутом. Уявімо коло, в центрі якого — ідея, що вивчається, а навколо нього — факти, що її описують. Ми починаємо пошук з одного якогось факту, а потім тиняємося навколо нього в пошуках додаткових, які б привели нас до розуміння ідеї. Наприклад, твердження «Коти мають спільні фізичні риси» призведуть нас до твердження «Коти мають спільний предок», яке призводить нас до «Різні види можуть бути ідентифіковані певними наборами ДНК». Ось воно! Саме так із печерного уявлення про кота вийшло сучасне.

Але не всі точки пошуку ідеї однакові. Вдалий погляд під правильним кутом і наш «печерний математик» доводить нову теорему. Це є інтуїція. Погляньмо, як вона працює.

Що таке коло?

Настав час для якогось математичного поняття: спробуймо дати визначення колу.

Здається, що визначень кола безліч. Ось лише кілька із них.

Найсиметричніша двовимірна фігура;
Фігура з найменшим периметром та найбільшою площею;
Усі точки на площині, рівновіддалені від певної точки (намальовані за допомогою циркуля або олівця на мотузку);
Точки (x; y) у рівнянні x 2 + y 2 = r 2 (аналітична версія геометричного визначення);
Крапки в рівнянні r * cos (t), r * sin (t) для всіх t (по-справжньому аналітична версія);
Фігура, яка стосується кожної точки якої завжди перпендикулярна радіус-вектору (фізична інтерпретація).

Список можна продовжувати, але суть у наступному: всі ці твердження описують одне й те саме явище! З тим самим успіхом можна сказати, що одиниця - це рішення рівняння2х+3=5 або кількість носів на вашому обличчі. Будь-яке визначення, яке виражає ідею одиниці, підійде.

Проте ці початкові описи є вкрай важливими — саме вони формують нашу інтуїцію. Оскільки ми бачимо кола у реальному світі, ми розуміємо ідею їхньої «круглості». Неважливо, наскільки прекрасним нам здається рівняння x 2 + y 2 = r 2 , глибоко всередині ми вже знаємо, що коло є «круглим». Якби ми зобразили це рівняння у графіці, і коло виявилося б квадратним, ми б знали, що десь помилилися.

Ми з дитинства знайомі з печерним визначенням кола (чогось дуже круглого) і воно дає нам зручне інтуїтивне розуміння. Ми можемо побачити, що кожна точка цього чогось круглого знаходиться на однаковій відстані від його центру. x 2 + y 2 = r 2 - Аналітичний спосіб висловити цю ж ідею з використанням теореми Піфагора. Ми розпочали пошуки з одного кута за допомогою нашої інтуїції, а потім крок за кроком наблизилися до формального визначення.

Деяким іншим поняттям не так таланить, як колу. Чи можемо ми інстинктивно зрозуміти число е, чи це абстрактне явище? Чи усвідомимо ми комплексні числа, чи це марна штучна ідея?

Стратегія розвитку розуміння

Мені все ще доводиться нагадувати собі про глибинне значення числа Ейлера (е) або комплексних чисел — це здається таким же безглуздим, як постійне нагадування про те, що таке коло або виглядає кіт. Тому процес пізнання має починатися з природного розуміння.

Неповне зображення без зображення. Джерело: Вікіпедія.

Мозок змушує скрипіти відсутність повної картини: математика це наука про явища; формули - лише спосіб висловити їх. Щойно стає зрозумілою основна концепція, рівняння постають своє місце. Ось стратегія, яка свого часудопомогла мені:

Крок 1. Знайти основну думку математичної концепції. Це може бути складним, тому варто розпочати з її історії. Коли вперше виникла ця концепція? Як із нею працював її першовідкривач? Його дії можуть відрізнятися від нашої сучасної інтерпретації та способу застосування.

Крок 2. Поясніть явище/факт за допомогою цієї ідеї. Проведіть аналогію з формальним визначенням. Якщо вам пощастить, ви зможете перевести математичне рівняння x 2 + y 2 = r 2 до простого твердження «Всі точки рівновіддалені від центру».

Крок 3. Досліджуйте суміжні властивості за допомогою цієї ідеї. Як тільки ви прийдете до працюючої аналогії чи інтерпретації, подивіться, чи застосовуються вони до інших властивостей. Іноді вони будуть застосовуватися, іноді ні (і вам знадобиться нове одкровення), але у будь-якому випадку ваші відкриття вас здивують.

Справжній приклад: йдемо до розуміння числа е

Шлях до розуміння числа Ейлера – справжня кровопролитна битва. Число Ейлера має безліч визначень, але жодне з них не є інтуїтивно зрозумілим. Давайте побудуємо навколо цієї ідеї кілька сутностей. У наступному розділі ми зустрінемося з деякими рівняннями, які є лише способами описати явища нашого життя. Навіть якщо рівняння виглядає страшенно складним, за ним завжди стоїть просте словесне пояснення.

Ось кілька популярних пояснень числа Ейлера:

Перший крок – знайти тему. Якщо подивитися на історію числа Ейлера, виявиться, що його обчислення пов'язане з вирішенням задачі про граничну величину відсоткового доходу. Число Ейлера було відкрито під час здійснення ділових розрахунків, а чи не під час операцій із абстрактними поняттями. Тож давайте визначимо «відсоткове зростання» як можливу тему для розуміння числаЕйлер.

Визначення 1: Визначаємо число Ейлера як максимально можливий річний прибуток при 100% річних і максимально частої капіталізації відсотків.

Перейдемо до другого визначення: нескінченний ряд чисел, що зменшуються. Що це може бути?

Після того, як ми дізналися про процентне зростання, ми бачимо, що це визначення демонструє не що інше, як компоненти капіталізованого відсотка. У цьому випадку до розуміння нас приведе невеликий мозковий штурм, який відповідає на запитання: «Що ж означають» 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + … стосовно процентного зростання?».

Що ж, перший член (1 = 1/0!, за умови, що 0! і є 1) є вихідною кількістю. Наступний член 1 = 1/1! є безпосередньо одержаним відсотком — 100% від 1. Наступний (0.5 = 1/2!) є кількістю грошей, одержаних за допомогою нарахованих відсотків («відсоток другого рівня»). І ще наступний (0,1666 = 1/3!) — це відсоток третього рівня, тобто кількість грошей, які ви отримали за допомогою відсотків, нарахованих на відсотки.

Гроші, що заробляються на грошах, що заробляються на грошах, заробляються на грошах, і так до нескінченності - ця послідовність і описується вище.

Визначення 2: Визначаємо число Ейлера як вклад кожного відсоткового елемента

Увага, з вами каже алгебра. Вона каже: "Швидкість процентного зростання дорівнює поточній сумі". Що ж, все вірно: нарахування відсотків у розмірі поточної суми становитиме 100%. А постійне зростання означатиме постійне нарахування відсотків — це ж просто ще один спосіб описати відсоток, що постійно капіталізується!

Визначення 3: Визначаємо число Ейлер як функцію, яка завжди зростає на 100% від поточного значення.

Прекрасно. Ми з'ясували, що числоЕйлера - це число, що означає постійне зростання у розмірі поточної суми (100%), не 1% і 200%.

Переходимо до останнього, найзаплутанішого визначення. Ось моя інтерпретація: замість того, щоб описувати скільки відсотків ви отримаєте, чому б не описати, скільки часу це займає?

У вас є одна одиниця грошей, і ви примножуєте її на 100%; перехід від 1 одиниці грошей до 2 одиниць грошей займе 1 одиницю часу. Як тільки ви опиняєтеся з двійкою і примножуєте її ще на 100%, це означає, що за 1 одиницю часу ви робите вже 2 одиниці грошей! Тому на перехід від 2 одиниць до 3 одиниць грошей займає ½ одиниці часу. Перехід від 3 одиниць до 4 одиниць грошей займе 1/3 одиниці часу і так далі.

Час, необхідний для зростання від 1 до А - це час, витрачений на перехід від 1 до 2, від 2 до 3, від 3 до 4 і так далі, поки ви не дістанетеся значення А. Перше визначення описує натуральний логарифм (ln) для цього обчислення часу зростання.

ln(a) - це просто час, необхідний для зростання від 1 до а. Зараз ми можемо сказати, що e - це число, що виражає точно 1 одиницю часу для переходу. Іншими словами, число Ейлера - це показник зростання, виробленого за 1 одиницю часу.

Визначення 4: Визначаємо час, необхідний для безперервного зростання від 1 до а як ln(a). Число Ейлера буде значенням зростання, яке ви отримуєте за 1 одиницю часу.

Вітаємо, ви щойно усвідомили число е! Джерело картинки: greatwinenews.com

Бамболей! Ми розглянули чотири різні способи опису загадкового числа Ейлера. Як тільки ми отримали центральну ідею («е - це число, пов'язане з безперервним зростанням на 100%»), усі рівняння та формули відразу встають на свої місця і стаєможливим перекласти мову алгебри на людську мову. Математика розповідає нам про навколишні явища!

А в чому мораль?

На уроках математики часто починаємо вивчення концепцій саме з останніх, найскладніших понять. Не дивно, що математика здається складною: ми показуємо учням формулу ДНК і сподіваємось, що за нею вони побачать пухнастого кота.

Описаний мною підхід навчив мене кільком важливим речам про те, як легко можна зрозуміти та пояснити математичні ідеї:

Шукати здогадки і застосовувати їх. Перший інтуїтивний здогад може допомогти розставити все по своїх місцях. Почніть із визначення, яке вам більш-менш зрозуміле і покружляйте навколо нього, щоб знайти інші.

Розвивайте розумову стійкість. Битися головою об стіну, намагаючись осмислити незрозумілу ідею - це невесело. Якщо щось спрацьовує одне, підійдіть до проблеми з іншого боку. Завжди є інші книги, інші статті, інші пояснення, які можуть виявитися вам ближчими.

Любити картинки - це нормально. Ми часто сприймаємо математику як сувору аналітичну науку; Але наочні матеріали - це зовсім не поганий тон. Використовуйте все, що допоможе вам докопатися до змісту. Комплексні числа колись були справжньою загадкою, поки не з'явилася їхня геометрична інтерпретація десятиліття після їх відкриття. Якщо ви просто цілий день дивитися на рівняння, це навряд чи наблизить вас до істини.

Фін з мультсеріалу Adventure Time радіє алгебрі. Джерело: gifrific.com

Математика стає складна і не приносить задоволення, якщо ми починаємо концентруватися на визначеннях та рівняннях, а не на розумінні. Пам'ятайте, що сучасні визначення - це найскладніший для сприйняття крок, який не повиненбути відправною точкою. Не бійтеся говорити простою мовою, сформулюйте ідею, що лежить за рівнянням, своїми словами. Успіхів!