Безперервність функції
У пункті поняття про безперервність функції ви познайомилися з поняттям безперервності функції в точці. Якщо функція безперервна в кожній точці деякого проміжку I, то її називають безперервноюна проміжкуI (проміжок I називаютьпроміжком безперервності функції f). При переході від однієї точки цього проміжку до близької точці значення функції змінюється мало; графік f на цьому проміжку є безперервною лінією, про яку говорять, що її можна «намалювати, не відриваючи олівця від паперу». (Так, у всякому разі, справа для безперервних функцій, що вивчаються у шкільному курсі.)
Як було показано у пункті правила обчислення похідних, функція, що диференціюється в точці x0, безперервна в цій точці. Усі дробово-раціональні та основні тригонометричні функції диференційовані у всіх точках своїх областей визначення. Отже, ці функції і безперервні у кожній із цих точок.
Наприклад, з диференційованості функції f(х) = x 2 по всій прямій, а функції f(x) = 1/x на проміжках (—∞;0) і (0;+∞) випливає безперервність цих функцій на відповідних проміжках.
Зазначимо таку властивість безперервних функцій:
Якщо на інтервалі (а; b) функція f безперервна і не перетворюється на нуль, то вона на цьому інтервалі зберігає постійний знак.
Це твердження має наочну інтерпретацію. Припустимо, що знайдуться такі точки х1 та x2 інтервалу (а; b), що f1) 0.