Чи можна з послідовності 1, 1

Чи можна з послідовності 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7… виділити арифметичну прогресію а) довжиною 4; б) довжиною 5; в) довжиною n, де n — будь-яке натуральне число? Візьмемо пару довільних членів послідовності і порахуємо їхню різницю.

Тепер продовжимо розпочату арифметичну прогресію зі знайденою різницею:

Якщо перші два числа призвести до того ж знаменника m(m + k), то отримаємо:

Щоб прогресія складалася з трьох членів даної послідовності, третій дріб повинен скоротитися, і при цьому в чисельнику повинна виявитися одиниця, тобто. знаменник m(m + k) повинен поділитися на чисельник (m - k). Це відбудеться, наприклад, при m = 2k. Отримаємо прогресію:

Підставляючи різні натуральні k, отримуватимемо різні приклади прогресій.

Щобу четвертому членіпрогресії при скороченні виявилася одиниця, знаменник m(m + k) повинен поділитися на чисельник (m - 2k). Це відбудеться, наприклад, при m = 3k:

Потрібно тепер, щоб скоротивсяп'ятий дріб. Візьмемо m=4k. Наша прогресія:

Щоб у всіх чисельниках виявилася одиниця (третій дріб підводить), візьмемо k = 3:

Придивимося уважно до прогресії, знайденої на початку рішення:

Числювачі утворюють арифметичну прогресію, знаменники рівні. Візьмемо як знаменник n!, а як чисельники 1, 2, 3,….

---