Числа Фібоначчі та спіраль Архімеда в навколишньому світі

ПЕРВУШКІН БОРИС МИКОЛАЄВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербурзька Школа «Тет-а-Тет»

У суспільстві людина має вміти як вирішувати завдання й виконувати математичні дії, а й вміти аналізувати навколишній світ. Все більшої популярності набувають нумерологія, "ігри з числами". Необхідно вміти відрізняти вигадки та маніпуляції з числами від реальних математичних додатків та описів.

Вихованню та розвитку таких якостей і здібностей у учнів значною мірою сприяє їхня участь у творчій діяльності. Підготовка повідомлення сприяє знайомству з літературою з обраної теми, створює можливість використати набуті навички роботи з джерелами, розвиває самостійність мислення, уміння на науковій основі аналізувати явища діяльності та робити висновки. Повідомлення є першою форм вивчення літератури, передуючи поглиблене вивчення першоджерел, застосування отриманих знань до аналізу.

Мета уроку:розглянути числа Фібоначчі та спіраль Архімеда та їх застосування

Розширення світогляду дітей за рахунок використання знань міжпредметних областей.

Формування первинних уявлень про ідеї та методи математики, як форму опису та метод пізнання дійсності.

Розвиток логічного та аналітичного мислення.

Розвиток уміння чітко висловлювати та формулювати свої думки.

Виховання вміння працювати в колективі: вислуховувати думку інших учнів та відстоювати свою точку зору.

Методи навчання:словесний, наочний, діяльнісний

Форми навчання:групова.

Кошти навчання(у тому числі технічні засоби навчання): Дошка, комп'ютер, мультимедійнийпроектор, екран, мікрокалькулятори.

В результаті навчання учні повинні знати та вміти:

– будувати спіраль Архімеда (зразкову модель) за квадратами;

- Записувати ряд Фібоначчі;

- знати властивості ряду Фібоначчі;

Група учнів ділиться на 3 дрібніші групи: “Історики”, “Математики”, “Математики 2”, кожна група попередньо отримала домашнє завдання – зробити повідомлення на 3 -5 хвилин:

1 група. Леонардо Фібоначчі та його математичні відкриття

2 група. Як було складено ряд Фібоначчі

3 група. Спіраль Архімеда

1. Вступне слово вчителя

Сьогодні на занятті ми поговоримо про числа Фібоначчі та спіралі Архімеда та їх прояв у навколишньому світі.

2. Група “Історики” розповідає про життя Леонардо Фібоначчі та його наукові досягнення (слайди 1-4)

Леонаірдо Пізанський народився в Пізі близько 1170, в сім'ї торговця. Батько Фібоначчі у справах часто бував в Алжирі, і Леонардо вивчав там математику в арабських вчителів. Пізніше відвідав Єгипет, Сирію, Візантію, Сицилію. Леонардо вивчав праці математиків країн ісламу (таких як ал-Хорезмі та Абу Каміл); з арабських перекладів він ознайомився також із досягненнями античних та індійських математиків. На основі засвоєних ним знань Фібоначчі написав ряд математичних трактатів, що є видатним явищем середньовічної західноєвропейської науки.

Значну частину засвоєних їм знань він виклав у своїй видатній "Книзі абака" (Liber abaci, 1202). До наших днів зберігся лише доповнений рукопис, виконаний у 1228 р. Ця книга містить майже всі арифметичні та алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою та глибиною.

Досягнення та відкриття Л. Фібоначчі:

- Введення арабських цифр

- Складання зворотного ряду, що призводить до послідовності чисел Фібоначчі

- Докладне пояснення та розробка дій над звичайними дробами

- Пояснення на числових прикладах способів наближеного вилучення квадратного і кубічного коренів

– зібрав ряд завдань застосування теореми Піфагора і багато прикладів на квадратні рівняння.

"Книга абака" різко підноситься над європейською арифметико-алгебраїчною літературою XII-XIV ст. різноманітністю та силою методів, багатством завдань, доказовістю викладу. Наступні математики широко черпали з неї як завдання, і прийоми їх вирішення.

Хоча Леонардо Пізанський і був найбільшим математиком середніх віків, єдині пам'ятники Фібоначчі - це статуя навпроти Пізанської вежі через річку Арно і дві вулиці, які носять його ім'я, одна - у Пізі, а інша - у Флоренції. Також бали випущені поштові марки з його зображенням .

3.Виступ групи “Математики” (слайди 5-6)

Л. Фібоначчі розглядає розвиток ідеалізованої (біологічно нереальної) популяції кроликів, припускаючи що: у “нульовому” місяці є пара кроликів (1 нова пара), у першому місяці перша пара виробляє світ іншу пару (1 нова пара), у другому місяці обидві пари кроликів породжують інші пари і перша пара гине (2 нові пари, у третьому місяці друга пара і дві нові пари породжують загалом три нові пари, а стара друга пара гине (3 нові пари). Закономірним є той факт, що кожна пара кроликів породжує ще дві пари протягом життя, та був гине.

Ця математична модель динаміки популяцій наводиться у книзі "Трактат про рахунок" "Liber abaci", датованої 1202 роком.

4. Виявлення властивостей рядуФібоначчі.

Хлопці вибудовують ряд Фібоначчі, використовуючи властивість: сума двох сусідніх чисел дорівнює наступному числу в послідовності. Навчальним пропонується за допомогою мікрокалькулятора виконати:

Група 1: розподіл числа послідовності до наступного;

Група 2: розподіл будь-якого числа ряду до попереднього;

Група 3: розподіл будь-якого числа до наступного за ним через одне.

При продовженні цього процесу хлопці роблять висновок у тому, якого числа “прагнуть” отримані результати. Після закінчення завдання хлопці дійшли таких висновків:

Відношення будь-якого числа послідовності до наступного наближається до 0,618 (після перших чотирьох чисел).

Ставлення будь-якого числа до попереднього приблизно дорівнює 1618 (величина зворотна 0618).

Ставлення будь-якого числа до наступного його через одне наближається до 0,382, а до попереднього через одне – 2,618.

5. Виступ гурту “Математики 2” (слайди 7,8)

Архімед народився в Сіракузах, грецькій колонії на острові Сицилія. Батьком Архімеда був математик та астроном Фідій. Батько прищепив синові з дитинства любов до математики, механіки та астрономії. Для навчання Архімед вирушив до Олександрії Єгипетської. За словами Плутарха, Архімед був просто одержимий математикою. Він забував про їжу, зовсім не дбав про себе. Роботи Архімеда належали майже всім областям математики того часу: йому належать чудові дослідження з геометрії, арифметики, алгебри.

Учні вибудовують спіраль приблизно, використовуючи метод квадратів, використовуючи ряд Фібоначчі.

6. Числа Фібоначчі та спіраль Архімеда в біології (слайди 9-13)

Дітям пропонується зробити припущення, де можна побачити спіраль Архімеда в природі. Висунутіприпущення розглядаються та обговорюються спільно. Для полегшення цього процесу учням пропонуються слайди з підібраними зображеннями.

7. Числа Фібоначчі та спіраль Архімеда в інших сферах. (Слайди 15-19)

Інформація, що надається учням за даними слайдів, залежить від їх віку та обсягу наявних знань. Нижче наведено приблизну схему оповідання. Учням пропонується висловити свою думку про цей додаток ряду Фібоначчі та спіралі Архімеда

Ринкова теорія Елліота заснована на наступному факті: кожне явище на нашій планеті рухається за тим же принципом, що й припливи: за припливом слідує відплив, за дією - протидія. Час не впливає на цю схему, тому що структура ринку у своїй повноті залишається незмінною.

Питання учням: Як ви думаєте чи вірно цей додаток ряду Фіббоначчі?

Відповідь: частково. На найбільш складних стадіях ринку навіть для дуже досвідчених послідовників Елліота майже неможливо застосовувати всі правила хвильових фігур Елліота у торгівлі в режимі реального часу.

Питання учням: Як ви вважаєте, чи вірний цей додаток ряду Фіббоначчі?

Відповідь: ні. Тіціус, його послідовник Боде щиро намагалися відшукати математичну закономірність у будові Сонячної системи - і вчені продовжували і продовжують займатися пошуками такого роду. Проблема в тому, що ні той, ні інший не пішли далі за гру чисел і не спробували відшукати фізичну причину того, чому орбіти ближніх планет підкоряються поміченій ними закономірності. А без фізичного обґрунтування "закони" і "правила" подібного роду залишаються чистою нумерологією - і, як свідчать наявні сьогодні дані, вельми некоректною нумерологією.

Слайд 17. Мексиканські піраміди побудовані відповідно до пропорційзолотого перерізу. На поперечному перерізі піраміди видно форму, подібну до сходів. У першому ярусі 16 ступенів, у другому 42 ступені та у третьому – 68 ступенів. Ці числа засновані на співвідношенні Фібоначчі таким чином:

16 x 1.618 = 26, 16 + 26 = 42 26 x 1.618 = 42, 42 + 26 = 68

Питання учням: Як ви вважаєте, чи вірний цей додаток ряду Фіббоначчі?

Слайд 18. Основну масу у Всесвіті складають спіралеподібні Галактики: їх близько 75%, еліптичних - 20%.

Питання учням: Як ви думаєте, чи вірний цей додаток спіралі Архімеда?

Слайд 19. Багато архітекторів зачаровувала краса спіралі Архімеда. Вони намагалися створити вежі, будинки, міські квартали на її основі. Зараз є кілька таких комп'ютерних моделей.

Питання учням: Як ви думаєте, чи вірний цей додаток спіралі Архімеда?

Відповідь: частково. Представлені сходи в одному з єгипетських готелів. Але вона повністю відповідає математичному побудові.

Підбиваються підсумки заняття. Ряд Фібоначчі є у багатьох природних формах і пов'язані з багатьма областями математики. На наступному занятті ми продовжимо вивчення теми та виявимо зв'язок низки Фібоначчі із золотим перетином.