Число е
Леонардо Ейлер як великий математик. Визначення числа e, наближене обчислення його значення, трансцендентність та експоненційна функція. Прояв числа e у реальному житті та його практичне застосування. Застосування числа e у математичних задачах.
Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
Розміщено на http://www.allbest.ru/
Виконав: студент групи Р-111
Нижній Новгород. 2011 р.
Розділ 1. Леонардо Ейлер як великий математик
Глава 2. Визначення числа e, обчислення його наближеного значення та його трансцендентність
2.1 Визначення числа e
2.2 Наближене обчислення значення числа e
2.3 Трансцендентність числа e
Розділ 3. Експонентна функція (експонента)
Розділ 4. Прояв числа e у реальному житті та його практичне застосування
Глава 5. Застосування числа e у математичних завданнях
Список використаної літератури
ейклер трансцендентність експонентна функція експонента
У вищій математиці велику роль відіграє число e, що називається так само числом Ейлера на честь «дав йому життя» великого математика Леонарда Ейлера (1707 - 1783). Все своє життя він займався наукою, і підтвердженням цього служить численні теоретичні положення, неможливо перерахувати всі теореми, що донині вживаються, методи і формули Ейлера, з яких однак лише деякі фігурують у літературі під його ім'ям: метод ламаних Ейлера, метод Ейлера підстановки, постійна Ейлера рівняння Ейлера, рівняння Ейлера (використовуються в гідромеханіці), формули Ейлера, функція Ейлера, числаЕйлера в математиці, формула Ейлера-Маклорена, формули Ейлера-Фур'є, характеристика Ейлера, Ейлерові інтеграли, Ейлерові кути і, зрозуміло, число Ейлера.
Під числом e розуміють межу
який неможливо вказати точним числом, але завжди можна визначити приблизно з урахуванням необхідної точності за допомогою формули
де і - це відношення різниці
yn є (n+1)-ою частковою сумою для нескінченного ряду
до (воно, очевидно, міститься між 0 і 1).
При цьому число e є трансцендентним (ірраціональним), а значить, воно не може бути коренем якогось рівняння алгебри з раціональними коефіцієнтами.
Найчастіше на практиці доводиться зустрічатися з числом e певною мірою, тому функція y = ex виявляється настільки важливою, що, на відміну від y = ax (де a?e), вона отримала особливу назву - експоненційна функція, або коротко експонента . Значення ex так само обчислюється приблизно за допомогою подвійної нерівності
(якщо x>0 та nN) або
(якщо x k, відкинути всі члени останньої частини, що йдуть за (k+1)-м, то отримаємо наступну нерівність:
Збільшуючи тут n до нескінченності, перейдемо до межі, тому що всі дужки мають межею 1, то знайдемо:
Ця нерівність має місце за будь-якого натурального k. Отже, маємо
функція y=ex монотонно зростає і не звертається в нуль на всій множині дійсних чисел (додаток 3). Крім того, існує ряд теорем, що полегшують роботу із заданою функцією. Так, наприклад, Якщо x>0, то для будь-якого натурального n виконуються нерівності
Доведемо нерівність (1) шляхом математичної індукції.
Перевіримо справедливість заданого твердження за n=1. Маємо:
- це дотична до графіка функції
вточці з абсцисою
а так як функція
звернена опуклістю вниз на множині всіх дійсних чисел, то для будь-якого x з множини всіх дійсних чисел виконується нерівність
Припустимо, що нерівність (1) правильна при n=k, тобто, припустимо, що
Доведемо його справедливість за
тобто доведемо, що
Для цього утворюємо допоміжну функцію ц - різницю лівої та правої частин нерівності
При х=0 ця функція перетворюється на нуль: ц(х)=0. Її похідна має вигляд:
За припущенням індукції всім
і тому функція ц(х) зростає на промені [0 + ?). Оскільки ц(0)=0, то всім
що й означає, що виконується нерівність
Таким чином ми довели справедливість у
у припущенні його справедливості при n = k, оскільки воно справедливе і за n = 1, воно справедливе всім натуральних n.
Тепер доведемо нерівність (2) методом математичної індукції.
Перевіримо його справедливість за n = 1, маємо:
Припустимо вірність даної нерівності при n = k, тобто припустимо, що
Доведемо справедливість цієї нерівності за n = k+1, тобто доведемо, що
для цього утворюємо допоміжну функцію ц - різницю лівої та правої частин нерівності
За припущенням індукції всім х>0 маємо >0 і тому функція ц(х) зростає на промені [0, + ?). Оскільки ц(0)=0, то всім х>0 маємо
а що й означає, що виконується нерівність
Таким чином ми довели справедливість нерівності
при n=k+1 у припущенні його справедливості при n = k, бо воно правильне і за n = 1, воно виконується всім натуральних n
Тобто ми довели, що при x>0 і nN вірна подвійна нерівність
За допомогою ньогоможна знайти з будь-якою точністю значення ex за будь-якого x, так як