Чому математика допоможе знайти ідеальне кохання
Математика— найточніша і найуніверсальніша мова науки, але чи можна за допомогою цифр пояснити людські почуття? Формули любові, насіння хаосу та романтичні диференціальні рівняння – публікуємо розділ із книги одного з найкращих викладачів математики у світі – Стівена Строгаца, «Задоволення від Х».
Навесні, — писав Тенісон, — уява юнака з легкістю повертається до думок про кохання. На жаль, потенційний партнер молодої людини може мати власні уявлення про кохання, і тоді їхні стосунки будуть сповнені бурхливих злетів і падінь, які роблять любов настільки хвилюючим і таким болючим. Одні страждальці від нерозділеної шукають пояснення цих любовних гойдалок у вині, інші — у поезії. А ми проконсультуємось у обчислень.
Поданий нижче аналіз буде глузливо-іронічним, але він торкається серйозних тем. До того ж, якщо розуміння законів любові може від нас вислизнути, то закони неживого світу зараз добре вивчені. Вони набувають форми диференціальних рівнянь, що описують зміну взаємопов'язаних змінних від моменту до моменту в залежності від їх поточних значень. Можливо, такі рівняння мало спільного з романтикою, але вони хоча б можуть пролити світло на те, чому, за словами іншого поета, «шлях істинного кохання ніколи не був гладким». Щоб проілюструвати метод диференціальних рівнянь, припустимо, що Ромео любить Джульєтту, але в нашій версії цієї історії Джульєтта — легковажна кохана. Чим більше Ромео любить її, тим більше вона хоче від нього сховатися. Але коли Ромео охолоне до неї, він починає здаватися їй надзвичайно привабливим. Однак юний закоханий схильний відбивати її почуття: він палає, коли вона його кохає,і остигає, коли вона його ненавидить.
Що відбувається з нашими нещасними закоханими? Як любов їх поглинає та йде з часом? Ось де диференційне літочислення приходить на допомогу. Склавши рівняння, що узагальнюють посилення та ослаблення почуттів Ромео та Джульєтти, а потім вирішивши їх, ми зможемо передбачити хід стосунків цієї пари. Остаточним прогнозом для неї буде трагічно нескінченний цикл кохання та ненависті. Принаймні чверть цього часу у них буде взаємне кохання.
Щоб дійти такого висновку, я припустив, що поведінка Ромео може бути змодельована за допомогою диференціального рівняння,
яке описує, як його любов ® змінюється наступної миті (dt). Відповідно до цього рівняння, кількість змін (dR) прямо пропорційно (з коефіцієнтом пропорційності a) кохання Джульєтти (J). Ця залежність відображає те, що ми вже знаємо: любов Ромео посилюється, коли Джульєтта любить його, але це також говорить про те, що любов Ромео росте прямо пропорційно до того, наскільки Джульєтта його любить. Це припущення лінійної залежності емоційно неправдоподібне, але дозволяє значно спростити рішення рівняння.
Навпаки, поведінку Джульєтти можна змоделювати за допомогою рівняння
Негативний знак перед постійним b відображає те, що її любов остигає, коли любов Ромео посилюється.
Єдине, що залишилося визначити, — їх початкові почуття (тобто значення R і J у час t = 0). Після цього всі потрібні параметри будуть задані. Ми можемо використовувати комп'ютер, щоб повільно, крок за кроком рухатися вперед, змінюючи значення R і J відповідно до описаних вище диференціальних рівнянь. Насправді за допомогою основної теореми інтегрального обчислення миможемо знайти рішення аналітично. Оскільки модель проста, інтегральне літочислення видає пару вичерпних формул, які говорять нам, скільки Ромео і Джульєтта любитимуть (чи ненавидітимуть) один одного у будь-який момент часу у майбутньому.
Представлені вище диференціальні рівняння мають бути знайомі студентам-фізикам: Ромео та Джульєтта поводяться як прості гармонійні осцилятори. Таким чином, модель передбачає, що функції R(t) і J(t), що описують зміну їхніх відносин у часі, будуть синусоїдами, кожна з них зростаюча і спадна, але максимальні значення у них не збігаються.
Модель можна зробити більш реалістичною різними шляхами. Наприклад, Ромео може реагувати як на почуття Джульєтти, а й у свої власні. А раптом він з тих хлопців, які настільки бояться, що їх покинуть, що остуджуватиме свої почуття. Або відноситься до іншого типу чоловіків, які люблять страждати - саме за це він її і любить.
Додайте до цих сценарій ще два варіанти поведінки Ромео: він відповідає на прихильність Джульєтти або посиленням, або ослабленням власної прихильності - і побачите, що в любовних відносинах існують чотири різні стилі поведінки. Мої студенти та студенти групи Пітера Крістофера з Вустерського політехнічного інституту запропонували назвати представників цих типів так: Путівник або Злісний Мізантроп для того Ромео, який охолоджує свої почуття і усувається від Джульєтти, і Нарцисичний Болван і Фліртуючий Фінк для того, що розігріває свій відкидається Джульєттою. (Ви можете вигадати власні імена для всіх цих типів.)
Хоча наведені приклади фантастичні, що описують їх типи рівнянь, дуже змістовні. Вони являють собою найбільш потужні інструменти з коли-або створених людством для осмислення матеріального світу. Сер Ісаак Ньютон використовував диференціальні рівняння для відкриття таємниці руху планет. За допомогою цих рівнянь він об'єднав земні та небесні сфери, показавши, що і до тих, і до інших застосовні однакові закони руху.
Майже через 350 років після Ньютона людство дійшло розуміння того, що закони фізики завжди виражаються мовою диференціальних рівнянь. Це вірно для рівнянь, що описують потоки тепла, повітря та води, для законів електрики та магнетизму, навіть для атома, де панує квантова механіка.
Дурна ідея описати любовні стосунки за допомогою диференціальних рівнянь спала мені на думку, коли я був закоханий вперше і намагався зрозуміти незрозумілу поведінку моєї дівчини. То справді був літній роман наприкінці другого курсу коледжу. Я дуже нагадував тоді першого Ромео, а вона першу Джульєтту. Циклічність наших відносин зводила мене з розуму, поки я не зрозумів, що ми обидва діяли за інерцією, відповідно до простого правила «тягни-штовхай». Але до кінця літа моє рівняння почало розвалюватися, і я був ще більш спантеличений. Виявилося, сталася важлива подія, яку я не врахував: її колишній коханий захотів повернути її.
У математиці ми називаємо таку задачу завданням трьох тілах. Вона явно нерозв'язна, особливо в контексті астрономії, де вперше і виникла. Після того як Ньютон вирішив диференціальні рівняння для задачі про два тіла (що пояснює, чому планети рухаються по еліптичних орбітах навколо Сонця), він звернув увагу на завдання про три тіла для Сонця, Землі та Місяця. Ні він, ні інші вчені так і не змогли її вирішити. Пізніше з'ясувалося, що завдання про три тіла містить насіння хаосу, тобто в довгостроковій перспективі їхня поведінка непередбачувана.
Ньютон нічого не знав про динаміку хаосу, але, за словами його друга Едмунда Галлея, поскаржився, що завдання про три тіла викликає головний біль і так часто не дає йому спати, що він більше не думатиме про це.