Чорно-білий мультиплікатор, Економіка для школярів
В олімпіадах
(а) Припустимо, білі економічні агенти звертають свої витрати виключно на доходи білих, а чорні — виключно на доходи чорних. Знайдіть величину мультиплікатора державних закупівель.
(б) Припустимо, білі економічні агенти звертають свої витрати виключно на доходи чорних, а чорні — виключно на доходи білих. Знайдіть величину мультиплікатора державних закупівель у разі.
(в) У якому з двох розглянутих випадків значення мультиплікатора державних закупівель більше? Чи залежить ваша відповідь від конкретних значень граничних норм споживання двох груп?
(б) Тут все цікавіше — дві галузі економіки стають взаємопов'язаними. Половинці одиниці держзакупівель, яка пішла до білих, судиться «стрибати» від білих до чорних і назад, і в результаті вона перетвориться на приріст випуску, що дорівнює $0,5(1 + x + xy + y + + \ldots ) =\\= 0,5(1 + x + xy(1 + x) + (1 + x) + \ldots) =\=0,5(1 + x)(1 + xy + + \ldots) = \frac>>.$
Аналогічно, половинка, яка пішла до чорних, перетвориться на $frac5(1 + y) $.
Отже, незвичайний мультиплікатор дорівнюватиме $mullt_G = \frac>> + \frac>> = \frac>>.$
(В) Нам потрібно порівняти величини $ frac + frac $ vs. $\frac>>$, якщо $x$ і $y$ — позитивні числа, менші одиниці. Дивно, але між цими величинами нерівність завжди виконана в один і той же бік, незалежно від конкретних значень норм споживання. Після збільшення обох порівнюваних величин на знаменники і розкриття дужок більшість доданків взаємно знищуються, і залишається симпатичне порівняння $ + $ vs. $2xy$ $ \ge 0$ Таким чином, ліва частина завжди не менша за праву, а значить у пункті (а)мультиплікатор держзакупівель завжди буде не меншим, ніж у пункті (б). Рівність досягається, як бачимо, тільки при $(x-y)^2=0$, тобто при $x=y$, що зрозуміло — якщо норми споживання однакові, то з погляду процесу мультиплікації дві групи ідентичні, і тому в пунктах (а) та (б) результати повинні бути однакові.