ЧС (МП-3) - Лекції - Лекції - Лекці13
4.3. Численні методи вирішення крайових завдань для ОДУ.
4.3.1.Завдання апроксимації на сітці.
Постановка крайового завдання ОДУ другого порядку:
(1)
Завдання називається крайовим, оскільки задані дві крайові умови.
Відмінність від завдання Коші:
у завданні Коші всі додаткові умови даються в одній точці, у крайовому завданні – у різних точках. Іноді можна привести крайове завдання типу завдань Коші. Постає проблема: як використовувати граничну умову на правому кінці?
Нехай дана сітка – крок сітки.
Апроксимуємо на сітці
;
Підставивши дані співвідношення в (1) отримаємо:
.
Помножимо все на
, де
Потрібно з тією ж точністю апроксимувати граничні умови:
першого роду:
другого роду:
третього роду:
Апроксимація граничних умов:
на лівому кінці відрізка:
Висловлюємо
А
.
Після підстановки та приведення подібних доданків отримуємо:
аналогічно чинимо з крайовою умовою на правому кінці відрізка. У результаті отримуємо неявну схему
Таким чином, отримали три діагональну систему, яка вирішується прогонкою.
4.3.2.Апроксимація, стійкість і збіжність різницевих схем.
Розглянемо знову крайове завдання ОДУ 2-го порядку (1).
Зручно уявити оператор
(3)
завдання (3) запишеться у вигляді
Говорять, що завдання (3) апроксимовано на сітці з порядком
, (4)
де
- сіточна норма.
Зауважимо, що з визначення сіткове рішення
З іншого боку,
, т.к. при підстановці точного рішення в ліву частину сіткового рівняння системи (3), отримаємо дещо іншу сіточну праву частину. Тому, позначивши
- За умовою апроксимація порядку p.
Нехай
- Обурене завдання, причому
Різнисна схема (6) стійка “загалом”, якщо мале зміна “правої частини” призводить до мінімальної зміни рішення, тобто. якщо
де С2 не залежить від h.
Нехай у задачі Коші функція f(x,u) лінійна за змінними.
Наведемо до канонічного вигляду однокроковий ітераційний процес.
Після апроксимації похідної y' на сітці wh у точці (xn,yn), отримуємо
(7)
До такого ж виду може бути наведена система рівнянь у задачі Коші, де yn – вектор, Rh – матриця.
Приведемо до такого ж краєве завдання (3).
і матрицю
При такому перетворенні можна досліджувати окремо стійкість по правій частині та стійкість за граничними умовами.
Теорема1.(Необхідна та достатня ознака стійкості процедури (8) по правій частині).
Ітераційна процедура стійка по правій частині тоді і лише тоді, коли
,
де з не залежить від h (тобто від N)
Однак, ця умова не завжди легко перевірити. Тому для конкретних ітераційних схем виробляються та доводяться конкретні достатні умови. Такі, наприклад, умови"благонеявного переважання" для схем прогонки.
Теорема2.(Необхідна спектральна ознака стійкості).
Нехай
, (9)
причому константа
