CoPhys 2001
Суть методу полягає у покритті розрахункової області (x, t) сіткою з NхМ точок. Тим самим визначаються вузли, у яких здійснюватиметься пошук рішення. Потім треба замінити диференціальні рівняння у приватних похідних апроксимуючими їх рівняннями в кінцевих різницях, виписавши відповідні різницеві рівняння для кожного (i,k)-го вузла сітки. У нашому випадку досить просто замінити перші похідні, що входять до рівняння, їх різницевими аналогами (такий метод дискретизації називається, як Ви пам'ятаєте, методом Ейлера).
Для рівняння (2) явна різницева схема має вигляд: де коефіцієнт K=Hx 2 /(HtD) характеризує відношення кроків різницевої схеми простором і часом і називаєтьсякоефіцієнтом Куранта. Для побудови різницевої схеми ми покрили розрахункову область (x,t) сіткою і використовували для різницевої апроксимації рівняння конфігурацію вузлів (шаблон), показану на рис.1 (про принцип побудови різницевих схем ми вже говорили в розділі, присвяченій ОДУ, і тому не будемо повторюватись). Поряд з кожною точкою шаблону наведено значення коефіцієнтів при значеннях шуканої функції у відповідних вузлах сітки, які виходять після приведення в наведеній схемі різниці подібних доданків.
Апроксимувати диференціальні рівняння різницею можна безліччю різних способів. Від вибору конкретного варіанта залежить як простота, швидкість і зручність обчислень, а й можливість отримання правильної відповіді. Зокрема, поряд з методом Ейлера використовують так званий інтегро-інтерполяційний метод.
Сформована повна система рівнянь алгебри (доповненарізницевою апроксимацією граничних умов для того, щоб число невідомих дорівнювало числу рівнянь) називається різницевою схемою, що апроксимує вихідне диференціальне рівняння. Процес розв'язання системи різницевих рівнянь називають реалізацією різницевої схеми.
Реалізація схеми різниці (3) для моделі без джерел тепла f(x,T,t)=0 наведена тут.