Диференціальний оператор - Фізична енциклопедія
ДИФЕРЕНЦІЙНИЙ ОПЕРАТОР- оператор, заданий диференц. виразом і діє у просторі ф-ций. Диференц. вираз узагальнює поняття похідної. Просте диференц. вираз будується слід. чином. Нехай F(x, у0, y1,. . .,уп)- речова ф-ція (n+2) змінних, визначена для значень своїх аргументів у прямокутній області , де I, Jk, - відрізки числової осі (можливо, що йдуть на ). Що відповідає їй диференц. вираз визначено на ф-ціях і (х) з необхідними властивостями диференційності в: для х з I всі існують і набувають значення з Jk при Макс. порядок похідної зв. порядком диференц. вирази. Диференц. вираз зв. квазілінійним, якщо F лінійна по уп, і лінійним, якщо вона лінійна по всіх уk, . Решта диференц. вирази зв. нелінійними. Для диференц. виразів з приватними похідними незалежні змінні пробігають область у , а рештою аргументів F є ф-ція і (x) та її приватні похідні .
Квазилінійність диференц. вирази з окремими похідними означає лінійність F по всіх похідних макс. порядку, яке лінійність - лінійність F за всіма похідними і самої ф-ции и. Уся ця термінологія автоматично переноситься на Д. о.
Окрім диференц. вирази Д. о. визначається класом ф-цій, в якому він діє. З матем. погляду разл. класам ф-ций (з різними властивостями гладкості та різними граничними умовами) відповідають разл. Д. о. Ця різниця має і фіз. інтерпретацію.
У більшості фіз. прикладів Д. о. лінійні. Найважливіші з них – оператори квантової механіки. Напр., оператори імпульсу, орбітального моменту, гамільтоніан для хвильових функцій в координатному поданні реалізуються як Д. о.:
,,
(тут j, k, l - цикліч. перестановки індексів 1, 2, 3, т - маса, V - потенц. Енергія частки). Фіз. інтерпретація їх собств. значень вимагає, щоб ці Д. о. були самосполученими операторами. Але навіть у тривіальній фіз. ситуації одномірного вільного руху на півосі гамільтоніан буде самосполученим Д. о. лише для хвильових ф-ций, що задовольняють граничним умовам речовин. а. Такі ф-ції можна як суперпозицію приходить і йде плоских хвиль з імпульсом k, де визначає зміна фази при відбитку у точці q=0. T. о., різні граничні умови описують різні закони відображення і, отже, різні фіз. ситуації.
За допомогою диференц. виразів формулюють та диференц. ур-ня. Тому питання існування, єдиності, залежність від поч. даних для рішень диференц. ур-ний природно ставляться мовою властивостей Д. о. як питання області визначення, ядрі, безперервності зворотного оператора. Напр., теореми існування рішень доводять з допомогою методу стиснених відображень - класич. методу теорії операторів Істотну інформацію дають дослідження спектра Д. о. та властивостей його резольвенти, розкладання за його власністю. ф-ціям, вивчення збурень Д. о. наиб. розвинена теорія лінійних Д. о., які взагалі є найважливішим прикладом необмежених операторів (див. Лінійний оператор). У диференц. геометрії та фіз. додатках особливу роль грає клас Д. о., які не змінюються або змінюються спец. чином при вплив на диференц. вираз перетворень з деякої групи (див., напр., Коваріантна похідна, Лапласа оператор). Д. о. служать описи структури низки матем. об'єктів. Напр., узагальнену функцію повільного зростання можна як результат дії Д. о. на безперервну ф-цію статечного зростання.