Дивовижні прийоми з математики

Розділи: Математика

З усіх наук математика користується особливою повагою, тому що її теореми абсолютно вірні та незаперечні, тоді як закони інших наук певною мірою спірні і завжди існує небезпека їхнього спростування новими відкриттями.

Існує безліч прийомів прискореного виконання арифметичних процесів-прийомів, призначених для повсякденних обчислень.

Школярі початкових класів повинні вміти робити в думці нескладні арифметичні обчислення. Наприклад, діти повинні вміти складати і віднімати в думці двоцифрові і трицифрові числа.

У дорослих складання і віднімання двозначних і тризначних чисел не викликає труднощів, оскільки доросла людина самостійно виробив собі способи елементарного усного рахунки.

Складати і віднімати, ділити і множити в думці двоцифрові і трицифрові числа дуже просто, якщо знаємо прийом. Наведені нижче способи не відрізняються від обчислення стовпчиком, зате набагато зрозуміліше.

80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (відділення розряду одиниць при відніманні)

Комбінації різних способів

79 - 50 (додаток до чисел одиниці)

70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (відділення розряду одиниць)

80 + 67 (перенесення одиниці з числа 68 на число 79)

80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147

Аналогічними способами легко складаються і віднімаються в думці і тризначні числа.

300 + 57 (+3) + 38(-3) (перенесення трійки з 38 на 57)

287 (+1) - 29 (+1) (додавання одиниці до зменшуваного та до віднімання)

419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (додавання трійки до зменшуваного і віднімається).

Одним із прийомів прискореного множення є прийом перехресного множення, дуже зручний при дії з двоцифровими числами.Спосіб не новий; він сходить до греків та індусів і за старих часів називався "способом блискавки" або "множенням хрестиком".

Нехай потрібно перемножити 2432. Подумки розташовуємо числа за наступною схемою, одне під іншим:

Тепер послідовно робимо такі дії:

1) 42=8-це остання цифра результату;

2) 22 = 4; 43 = 12; 4+12=16; 6-середня цифра результату; одиницю запам'ятовуємо;

3) 23 = 6 та ще утримана в умі одиниця, маємо 7-це перша цифра результату.

Отримуємо всі цифри твору: 7, 6, 8 = 768

Інший спосіб, що полягає у вживанні так званих "доповнень". Зручно застосовується в тих випадках. коли числа, що перемножуються, близькі до 100. Отриманий результат вірний, наочно видно з наступних перетворень;

8896 = 88 (100-4) = 88100-884

496 = 4 (88 +8) = 48 +884

929 = 8832 +0

Таблиця множення на "9".

Зведення у квадрат чисел, що закінчуються на "5".

Щоб звести до квадрата число, наприклад 65, треба до розряду десятків додати 1(т. е.6+1=7) і помножити 6*7=42, а 5*5=25. Отже, =4225

95*95= 12253 * 4 = 12

= 9025 9 * 10 = 90

всі відповіді закінчуються числом 25. Але як виходять перші дві цифри відповіді? Вони виходять множенням цифри десятків наступне її натуральне число. Щоб звести до квадрата число, наприклад 65, треба до розряду десятків додати 1(т. е.6+1=7) і помножити 6*7=42, а 5*5=25. Отже =4225.

Запам'ятовування таблиці значень Sin, Cos, tg для гострих кутів.

Бачите, пальці лівої руки утворюють кути:

мізинець-0 (нульовий палець)

безіменний-30 (перший палець)

середній-45 (другий палець)

вказівний-60 (третій палець)

великий-90 (четвертий палець)

Знаючи синуси, можна заповнити косинуси (навпаки), тангенси та котангенси гострих кутів.

Спосіб множення чисел близьких до 100

Щоб отримати 2 останні цифри відповіді (десятки та одиниці), потрібно

Щоб отримати перші 2 цифри відповіді (тисячі та сотні), треба

4) 93 – 5 = 88 або (95 – 7 = 88)

Приклад 2: 98*92

Припустимо, що потрібно перемножити 92 * 96. Додаток для 92 до 100 буде 8, а для 86-4. Дія здійснюють за такою схемою:

Множителі: 92 та 96.

Доповнення: 8 та 4.

Перші дві цифри результату виходять простим відніманням з множника "доповнення" множного чи навпаки: тобто. з 92 віднімають 4 або з 96-8. У тому й іншому випадку маємо 88; до цього числа приписують твір "доповнень": 8?4 = 32.

Ще приклад - потрібно перемножити 78 на 77:

Множителі: 78 і 77.

Доповнення: 22 та 23.

Ймовірно, всі знають, що від перемноження ряду чисел, що закінчуються на 1, 5 або 6, виходить число, яке закінчує тією самою цифрою.

46 = 2116; 46 = 97336

Вилучення з-під кореня

1). Щоб витягти число з-під кореня, наприклад, розділимо це число по два розряди праворуч наліво так: = 568

1. Розбиваємо число (5963364) на пари праворуч наліво (5`96`33`64)

2. Виймаємо квадратний корінь із першої зліва групи (число 2). Так ми одержуємо першу цифру числа.

3. Знаходимо квадрат першої цифри (2 2 = 4).

4. Знаходимо різницю першої групи та квадрата першої цифри (5-4=1).

5. Зносимо дві цифри (отримали число 196).

6. Подвоюємо першу, знайдену нами цифру, записуємо зліва за межею(2 * 2 = 4).

7. Тепер необхідно знайти другу цифру числа: подвоєна перша цифра, знайдена нами, стає цифрою десятків числа, при множенні якого число одиниць, необхідно отримати число менше 196 (це цифра 4, 44*4=176). 4 – друга цифра числа.

8. Знаходимо різницю (196-176=20).

9. Зносимо наступну групу (отримуємо число 2033).

10. Подвоює число 24, отримуємо 48.

11. 48 десятків у числі, при множенні якого на число одиниць, ми повинні отримати число менше 2033 (484 * 4 = 1936). Знайдена нами цифра одиниць (4) і є третьою цифрою числа.

Далі процес повторюється.

Числа 10, 11, 12, 13 і 14 мають дивовижну особливість. Хто б міг подумати що

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 . Доведемо це: 100 + 121 +144 = 169 + 196

Додавання чисел, близьких один до одного за величиною.

У практиці технічних і торгових обчислень трапляються випадки, коли доводиться складати стовпці чисел, близьких друг до друга за величиною. Наприклад;

Для складання таких чисел застосовується наступний прийом