Дослідницький проект - Математика без формул, Соціальна мережа працівників освіти

Не секрет, що багато хто вважає математику складною, сухою та відірваною від життя наукою. Як часто доводиться чути від учнів, що математика – це суцільні формули, які ніколи в житті не знадобляться, що вивчення математики – нудне нецікаве заняття. "Навіщо тільки вигадали цю математику!" - Думка багатьох.

За такої низької мотивації, враховуючи рівень базових знань хлопців, важко очікувати від них не лише високих, а й навіть мінімальних позитивних результатів навчання. Тому головною дидактичною метою проекту було підвищення мотивації навчання, пробудження інтересу до математики у дітей.

Ідея цієї роботи була взята на сайті мережевого проекту "Математика без формул" (http://wiki.iteach.ru/).

Баженов Ілля Іванович, організатор проекту,

Взявши за основу питання проекту, додавши свої питання, хлопці провели власні дослідження, зібрали та вивчили різноманітні матеріали, зробили власні висновки. В результаті вийшов представлений проект. Він поєднує чотири напрями досліджень. Звичайно, назвати цю роботу науковою навряд чи можливо, але своєї мети проект досяг. Діти, які виконували проект, стали більш зацікавлено ставитись до уроків математики. З'явилися нові ідеї проектів та нові бажаючі брати участь у них, а отже, хоч трохи, але підвищився інтерес до математики зокрема й навчання в цілому. А це так важливо, особливо для наших дітей.

Побудови за допомогою циркуля та лінійки

учень групи 40/41 підводний човен №1

викладач математики Мочалова Є.В.

1. Вивчити матеріал на тему.
2. З'ясувати, у чому суть завдань на побудову за допомогою циркуля та лінійки, що таке ідеальні інструменти.
3. Навести приклади завдань напобудова за допомогою циркуля та лінійки.
4. Відповісти на запитання: «Чи всі завдання на побудову за допомогою циркуля та лінійки мають рішення?»

Побудови за допомогою циркуля та лінійки – розділ евклідової геометрії, відомий з античних часів. У завданнях на побудову циркуль та лінійка вважаються ідеальними інструментами. Їхнє призначення відоме всім школярам: лінійкою проводять прямі (точніше, відрізки), а циркулем – кола, відкладають і відрізки заданих довжин (щоправда, для цього в наші дні частіше використовують його різновид – вимірювач).

Лінійка - найпростіший вимірювальний геометричний інструмент, що є вузькою пластиною, у якої як мінімум одна сторона пряма. Зазвичай лінійка має нанесені поділки, кратні одиниці виміру довжини (сантиметр, дюйм), які використовуються для вимірювання відстаней.

Лінійки зазвичай виробляють із пластику або дерева, рідше з металів.

У геометрії та картографії лінійка використовується тільки для проведення прямих ліній, вимірювання відстані по лінійці вважається грубим (для більш точного вимірювання відстань вимірюють вимірювальним циркулем, розчин якого потім прикладають до лінійки).

Циркуль (від лат. circulus - коло, коло) - інструмент для малювання кіл і дуг кіл, також може бути використаний для вимірювання відстаней, зокрема, на картах. Може бути використаний у геометрії, кресленні, для навігації та інших цілей.

Циркуль виготовляється з металу і складається з двох частин, з'єднаних шарніром. Зазвичай на кінці однієї з них розташовується голка, на кінці іншої - предмет, що пише (наприклад, грифель). У вимірювального циркуля голки обох ніжках.

Спеціальний набір, що містить крім циркуля додаткове приладдя (такі як змінні стрижні,голки) та інструменти (кронциркуль, вимірювальний циркуль, рейсфедер), а також футляр із відповідними поглибленнями для них називається готовальнею.

Згодом конструкція циркуля практично не змінилася, але йому вигадали масу насадок, так що тепер він може викреслювати кола від 2 міліметрів до 60 сантиметрів, крім того, звичайний графітний грифель можна замінити насадкою з рейсфедером для креслення тушшю. Є кілька основних типів циркулів: розмічальний або ділильний, його застосовують для зняття та перенесення лінійних розмірів; креслярський або круговий, його застосовують для креслення кіл діаметром до 300 міліметрів; креслярський кронциркуль для креслення кіл від 2 до 80 міліметрів у діаметрі; креслярський штангенциркуль для викреслення кіл діаметром більше 300 міліметрів; пропорційний - для зміни масштабів розміру, що знімається.

У завданнях на побудову розглядаються безліч усіх точок площини, безліч всіх прямих площини та безліч усіх кіл площини, над якими допускаються такі операції:

1. Виділити точку з багатьох точок:

1. довільну точку
2. довільну точку на заданій прямій
3. довільну точку на заданому колі
4. точку перетину двох заданих прямих
5. точки перетину/торкання заданого прямого та заданого кола
6. точки перетину/торкання двох заданих кіл

1. «За допомогою лінійки» виділити пряму з багатьох прямих:

1. довільну пряму
2. довільну пряму, що проходить через задану точку
3. пряму, яка проходить через дві задані точки.

1. «За допомогою циркуля» виділити коло з безлічі всіх кіл:

1. довільнуколо
2. довільне коло з центром у заданій точці
3. довільне коло з радіусом, що дорівнює відстані між двома заданими точками
4. коло з центром у заданій точці та з радіусом, що дорівнює відстані між двома заданими точками

У разі завдання задається кілька точок. Потрібно за допомогою кінцевої кількості операцій з числа перерахованих вище допустимих операцій побудувати іншу множину точок, що знаходиться в заданому співвідношенні з вихідною множиною.

Розв'язання задачі на побудову містить у собі три суттєві частини:

1. Опис способу побудови заданої множини.
2. Доказ того, що множина, побудована описаним способом, дійсно знаходиться у заданому співвідношенні з вихідною множиною. Зазвичай доказ побудови провадиться як звичайний доказ теореми, що спирається на аксіоми та інші доведені теореми.
3. Аналіз описаного способу побудови щодо його застосовності до різних варіантів початкових умов, а також щодо єдиності або не єдиності рішення, одержуваного описаним способом.

Завдання на бісекцію.

За допомогою циркуля та лінійки розбити цей відрізок AB на дві рівні частини.

Одне з рішень показано малюнку:

Циркулем проводимо кола з центром у точках A та B радіусом AB.

Знаходимо точки перетину P і Q двох побудованих кіл (дуг).

По лінійці проводимо відрізок чи лінію, що проходить через точки P і Q.

О - шукана середина відрізка АВ

Побудувати за допомогою циркуля та лінійки вписаний чотирикутник з чотирьох його сторін.

1. Одне з рішень використовує коло Аполлонія.

Побудувати за допомогою циркуля талінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульоване Аполлонієм Пергським приблизно 220 р. до н. е. у книзі «Касанія», яка була втрачена, але була відновлена ​​в 1600 Франсуа Вієтом, «Галльським Аполлонієм», як його називали сучасники.

Завдання вирішується за допомогою застосування двох операцій: інверсії та переходу до концентричних кіл.

Вісім різних розв'язків задачі Аполлонія.

Трисекція кута — задача про розподіл заданого кута на три рівні частини побудовою циркулем та лінійкою. Інакше кажучи, необхідно побудувати трисектриси кута - промені, що ділять кут на три рівні частини.

П. Л. Ванцель довів у 1837 році, що завдання можна розв'язати лише тоді, коли можна вирішити у квадратних радикалах рівняння:

Наприклад, трисекція здійсненна для кутів α = 360°/n за умови, що ціле число n не ділиться на 3. Тим не менш, у пресі іноді публікуються (невірні) способи здійснення трисекції кута циркулем і лінійкою.

Подвоєння куба — класичне античне завдання на побудову циркулем і лінійкою ребра куба, обсяг якого вдвічі більший за об'єм заданого куба.

У сучасних позначеннях завдання зводиться до вирішення рівняння . Рішення має вигляд. Все зводиться до проблеми побудови відрізка завдовжки. П. Ванцель довів у 1837 році, що це завдання не може бути вирішене за допомогою циркуля та лінійки.

Квадратура кола — завдання, що полягає у знаходженні побудови за допомогою циркуля та лінійки квадрата, рівновеликого за площею даного кола.

Якщо прийняти за одиницю виміру радіус кола й позначити x довжину боку квадрата, то завдання зводиться до розв'язання рівняння: , звідки: . Як відомо, за допомогою циркуля та лінійки можна виконати всі 4 арифметичні дії тавилучення квадратного кореня; звідси випливає, що квадратура кола можлива у тому й лише тому випадку, якщо з допомогою кінцевого числа таких дій можна побудувати відрізок довжини π. Таким чином, нерозв'язність цього завдання випливає з неалгебраїчності (трансцендентності) числа π, яка була доведена в 1882 Ліндеманом.

Інша відома нерозв'язна за допомогою циркуля та лінійки завдання — побудова трикутника за трьома заданими довжинами бісектрис. Причому це завдання залишається нерозв'язним навіть за наявності трисектора.

Лише у ХІХ столітті було доведено, що це три завдання нерозв'язні під час використання лише циркуля і лінійки. Питання можливості побудови повністю вирішене методами алгебри, заснованими на теорії Галуа.

Завдання на побудову за допомогою циркуля та лінійки існують з давніх часів.

Протягом тисячоліть математики шукають і знаходять розв'язання таких завдань, але є завдання, які не можуть бути вирішені з використанням тільки ідеальних інструментів.

---