ДОСЛІДЖЕННЯ АППРОКСИМАЦІЇ ФУНКЦІЙ РОЗПОДІЛУ З ЗАСТОСУВАННЯМ АПАРАТУ «ЗШИТИХ» ФУНКЦІЙ -
При дослідженні та апроксимації функцій розподілу f(x) сумою загасаючих експонент основною метою було отримання найкращої апроксимації. Апроксимацією сумою загасаючих експонент найкраща апроксимація досягає на ділянці так званого «важкого» хвоста розподілу. Апроксимація довільної щільності розподілу, що описує поведінку реального потоку пакетів (трафіку), дозволяє аналітично досліджувати характеристики мережі. Насамперед існує проблема аналізу пакетів при передачі їх по мережі, часто неможливо визначити, яка максимальна затримка може бути при наданні тієї чи іншої послуги. По-друге, методи, що дозволяють досліджувати параметри мережі на основі статистики трафіку, що передається, як такі відсутні. Однією з головних завдань якісної роботи та управління мережею є необхідність заздалегідь контролювати та передбачати основні характеристики мережі: затримку, джиттер, відсоток втрачених пакетів, пропускну здатність та інші.
У роботі представлено дослідження розробленого алгоритму розв'язання інтегрального рівняння (ІУ) Ліндлі спектральним методом для системи масового обслуговування (СМО) типу G/G/1, на основі апроксимацій за допомогою суми експонентів, що загасають. Дана апроксимація дозволяє отримати вираз функції розподілу часу очікування і для середнього часу очікування пакета в черзі.
Однак при проведенні аналізу апроксимації сумою загасаючих експонентів виникла проблема в мінімізації та зведення до нуля похибки апроксимації. Отримані результати дослідження, на прикладі розподілів «важкого» хвоста (РТХ), доводять, що апроксимація довільної функції щільності розподілу ймовірностей, сумою загасаючих експонент є доцільною, оскільки отримані теоретичніапріорні оцінки похибки мінімальні. Однак, на прикладі функції розподілу Вейбулла видно, що залишилася не вирішеною проблема на початковій ділянці апроксимації, тому що апроксимація сумою загасаючих експонентів погано описує досліджувану функцію на ділянці близько нуля.
Тому було зроблено спробу дослідження двох ділянок функції розподілу, про «пошитих» функцій розподілу.
Є функція Вейбулла f(x), яку апроксимуємо по ділянках від (0, x0) і (x0, ∞), для більш точного рішення ІУ Ліндлі, щоб звести похибку апроксимації R(x) → 0.
Щільність функції розподілу Вейбулла має такий вигляд (рис. 1):
(1)
Мал. 1. Функція щільності розподілу Вейбулла при α = 1,6 та β = 0,5
Як видно із рис. 2 близько нуля виникла проблема з поганою апроксимацією сумою загасаючих експонентів, тому апроксимуватимемо функції окремо і потім «зшиватимемо» їх [1].
Мал. 2. Порівняння двох щільностей розподілу Вейбулла
Представляємо апроксимацію f(x) на ділянці (0, x0) поліномами:
Розглядаємо апроксимацію f(x) на ділянці (x0, ∞) сумою загасаючих експонентів [2, 3]:
Обов'язково необхідно врахувати умову нормування обох частин «зшитої» функції.
Розглянемо «пошивання» функцій в одну [1]:
(2)
Враховуємо умову нормування
Мал. 3. Апроксимація функції розподілу Вейбулла f(x) на ділянці (0, x0) поліномами
Необхідно «пошити» дві функції φ1(x) і φ2(x) в одну φc(x), а потім знайти перетворення Лапласа для вирішення ІУ Ліндлі спектральним методом [2, 3].
(3)
де A(s) та B(s) – перетворення Лапласу щільності розподілу проміжків часу між надходженнями пакетів тагустини розподілу часу обслуговування, відповідно.
Аналітичний вид «зшитої» функції:
У нашому випадку отримуємо:
оскільки функція Вейбулла f(x) існує відрізку від (0, x0).
У нашому випадку приймемо a = 0, b = ∞ і отримаємо інтеграл виду (4)
(4)
Для функції Вейбулла f(x), апроксимованої поліномами на ділянці (0, x0), маємо (5):
, (5)
де.
Для функції Вейбулла f(x), апроксимованою сумою загасаючих експонент на ділянці (x0, ∞), маємо (6):
(6)
де.
Приклад «зшитих» функцій
Розглянемо випадок, коли проміжки часу між надходженнями пакетів мають розподіл Вейбулла з параметрами α = 1,6 та β = 0,5, а проміжки часу обслуговування мають розподіл Парето з параметрами α = 1,5 та β = 1. Експериментальним шляхом визначаємо точку x0 , коли досягається максимальної значення функції розподілу Вейбулла при даних параметрах, у разі x0 = 0,3.
Відповідно до алгоритму апроксимації сумою загасаючих експонентів, після отримання перетворення Лапласа I «зшитої» функції, необхідно вирішити ІУ Ліндлі спектральним методом.
A(s) – перетворення Лапласа густини розподілу проміжків часу між надходженнями пакетів від функції Вейбулла. Перетворення Лапласа від зшитої функції I = A(s), B(s) – перетворення Лапласа щільності розподілу часу обслуговування від функції Парето:
Вирішуємо ІУ Ліндлі спектральним методом [2] отримуємо функцію часу очікування пакетів у черзі W(t):
Мал. 4. Апроксимація f(x) на ділянці (x0, ∞) сумою загасаючих експонент
Мал. 5. Функція часу очікування пакетів у черзі W(t)
Висновки
За цим результатом можназробити висновок, що розбиваючи на ділянки апроксимацію функції розподілу, що описує проміжки часу між надходженнями пакетів, дає помилку мінімальної похибки. Однак необхідно розглянути кілька видів апроксимації ділянки близько нуля і порівняти найкраще рішення ІУ Ліндлі спектральним способом для визначення середніх характеристик мережі.