Експонентне відображення - Технічний словник Том IV
Експоненційне відображення має дуже важливу властивість функціональності. Експоненційне відображення в узагальненому завданні Ді-дони // Мат. Експоненційне відображення у групі SLn (C) не сюр'єктивно. Експоненційне відображення є конформним у всій площині. Експоненційне відображення ехрр: ТРМ - v M визначається для лоренцевих різноманіття в точності так само, як і для ріманових різноманіття. Використовуємо тепер експоненційне відображення, асоційоване з введеною метрикою, і визначимо за допомогою (п - 2) - мірного репера ц / г] вкладення ф, що має потрібні властивості. Деталі цієї побудови аналогічні наведеним у заключній частині доказу леми 6.7, стор. Поняття експоненціального відображення, встановлене нами для матриць, може бути узагальнено у разі довільної аналітичної групи. Це дозволяє використовувати елементи, що утворюють алгебру Лі аналітичної групи g, для параметричного представлення елементів, що утворюють околицю нейтрального елемента в 5 - Визначення цього узагальненого експоненціального відображення є предметом § VIII. Експонентне відображення використовується в § IX для поповнення отриманих у § VII відомостей про гомоморфні відображення аналітичних груп. С) - експоненційне відображення, яке визначається так само, як і в речовинному випадку. Нехай: 3 (R) - J27 (С) - відображення, яке кожному оператору L зіставляє його комплексифікацію L, визначену вище. Наступна пропозиція випливає безпосередньо з визначень. Таким чином, наше експоненційне відображення збігається з нульовим перерізом і тому індукує ізоморфізм цього перерізу на X. Докажемотепер, що експоненційне відображення є аналітичним відображенням певного нами щойно різноманіття. W - кубічна околиця точки е щодо цієї системи. Це показує, що експоненційне відображення ехр: g - v G не є, взагалі кажучи, ні взаємно однозначним, ні відображенням. Вищевикладені факти, що стосуються експоненційного відображення - це і є все, чим ми користуватимемося надалі. Зазначимо, що в термінах експоненційного відображення, аналогічно § 13, зворотні рівняння будуть описані в § 2 О. Наступна пропозиція показує, як диференціал експоненційного відображення можна використовувати для побудови якобієвих полів.
У цьому базисі отримуємо щось на кшталт експоненційного відображення: як завжди, алгебра Лі відображається на відповідну групу Лі; з'являється комплексна структура. Таким чином, можна вибрати мультиплікативну уніформізацію, яка представляє комплексний тор у вигляді фактора твору кількох комплексних мультиплікативних груп групи мультиплікативних періодів. На відміну від свого зворотного ( експоненціального відображення ехр), відображення log коректно визначено тільки в деякій околиці одиничного елемента. Однак для наших цілей ця невелика незручність не відіграє великої ролі. Для групи Лі SL (К) експоненційне відображення не сюр'єктивно. Для групи Лі GLn (С) експоненційне відображення сюръектпв-но, але не відкрито і не ін'єктивність. Доказ цього факту безпосередньо випливає з визначення експоненційного відображення. Якщо Л – одноточково, то ехрдг – звичайне експоненційне відображення. Коваріантна похідна у, геодезична пульверизація Z і експоненційне відображення ехр на BS (M) прав-вощшаріантні. Властивістьмультиплікативності, що характеризує звичайну експоненту, для експоненційного відображення у групах Лі виконується лише в обмеженому вигляді. Має місце простий і дуже корисний зв'язок між експоненційним відображенням та полями Якобі. Саме якщо повертати в дотичному просторі ТрМ промінь з початком в нулі навколо його початку, то образ цього променя при експоненційному відображенні буде закреслювати геодезичну варіацію. При цьому диференціал експоненціального відображення rfexpp переводить (лінійне) поле швидкостей руху точок променя в полі Якобі вздовж геодезичної - образу променя. Опишемо це більш формально. Відображення exp: g G називається експоненційним відображенням. Фокс довів теореми 3.4.1 і 3.4.3 і показав, що експоненційне відображення Л у результаті 3.4.10 є взаємно однозначним відображенням. Нехай на М задана зв'язність Н і ехр - се експоненційне відображення. Ця формула є окремим випадком формули Хелгасона [34] для диференціала експоненційного відображення в довільному просторі лінійної зв'язності. Ноно [77] продовжував розпочате ним в інших роботах дослідження особливостей експоненційного відображення ехр речової або комплексної алгебри Лі G в групу (&. Нехай A GG - елемент, в околиці якого відображення ехр не є гомеоморфізмом. Розмірність множини L ( ) ) дорівнює числу лінійно незалежних власних векторів оператора ad л: з власними значеннями виду 2ти &, де k - ціле число, що не дорівнює нулю.
Ам - Зауважимо, проте, що ехр не є експоненційним відображенням зв'язності Леві-Чівіта, що відповідає рімановій метриці, -) i на AM. Якщо групаскладається з операторів, що діють у нескінченномірному просторі, експоненційне відображення в ряді випадків може бути задане саме так, з належними доказами збіжності. Докажіть, що для будь-яких топологічних просторів X, Y, Z експоненційне відображення Л: У2х - о (вугілля є гомеоморфне вкладення щодо топології поточкової збіжності на просторах відображень. Це аналітична функція на д, нулі якої збігаються експоненційного відображення. Для кожної пари X, Z хаусдорфових просторів і довільного топологічного простору Y експоненційне відображення Л: Y ( z х Х) - ( Y x z є гомео-морфним вкладенням по відношенню до компактно-відкритої топології на просторах відображень. 3>Якщо ZXX є k - простір, то для будь-якого топологічного простору Y експоненціальне відображення Л: У х - (У) є гомеоморфізмом щодо компактно-відкритої топології на просторах відображення. Використовуючи теорему 7, побудуємо на Т (К) з та отримаємо експоненційне відображення. Та чи інша лінійна зв'язність V і що визначаються через неї паралельне перенесення, геодезичні, експоненційне відображення, перетворення кривизни можуть вводитися на будь-якому гладкому різноманітті. Позначимо через S алгебру групи N і через exp: S - N - експоненціальне відображення. Диференціал dg відображення g в одиниці групи N є автоморфізмом алгебри 2, а відображення ехр здійснює топологічну сполученість між відображеннями g до dg (див. [8], стор. Позначимо через S алгебру групи N і через exp: S - vJV - експоненціальне відображення. Орієнтовані геодезичні, що проходять через х, параметризуються одиничною двовимірною сферою в дотичному просторі Тя за допомогоюекспонентного відображення. Оскільки U є одиничною нормаллю до цієї сфери, з формули (2.3) випливає, що інволюція J зберігає її дотичний простір і, більше, визначає стандартну комплексну структуру на римановой сфері. Таким чином, безслідні матриці утворюють алгебру Лі, пов'язану з групою SL (2) експоненційним відображенням (8.3) і звану алгеброю Лі цієї групи. Багато результатів теорії звичайних груп Лі (зв'язок між групами і алгебрами Лі, конструкція і властивості експоненційного відображення) мають аналоги і в р-дичному випадку. Ці результати знаходять застосування в алгебраїч. Якщо X та Z - хаусдорфові простори з першою аксіомою рахунковості, то для кожного топологічного простору Y експоненційне відображення Л: У (ХХ) - (У) є гомеоморфізмом по відношенню до компактно-відкритої топології на просторах відображень. ЧИ ЕКСПОНЕНЦІЙНА ГРУПА, група Лі типу (Е) - речовинна кінцевомірна група Лі G, для якої експоненційне відображення ехр: І - - G, де С ( - алгебра Лі групи G, є диффеоморфізмом.
Для ріманових різноманітностей, наділяючи дотичний простір плоскою метрикою (див. визначення 9.17), можна показати, що експоненційне відображення не зменшує довжин дотичних векторів (точне формулювання див. Бішоп і Криттенден (1967, с. зіставляючи якобієві поля на даному в R і використовуючи теорему порівняння Рауха, можна отримати простий доказ цього факту.Для доказу аналогічних результатів для просторів з невід'ємною часоподібною секційною кривизною ми скористаємося часоподібною теоремою порівняння Рауха (див. Флаерті (1975а, с. Інтуїтивно1). той факт, що якщоЧасоподібні секційні кривизни (М, g) позитивні, то спрямовані в майбутнє часуподібні геодезичні, що виходять з даної точки, розбігаються в М швидше, ніж відповідні геодезичні в просторі-часі Мінковського. Нагадаємо, що канонічний ізоморфізм Т0 визначено в розд. І) На М немає сполучених точок; отже, універсальна М, що накриває, різноманіття М диффеоморфна будь-якому дотичному простору за допомогою експоненціального відображення. Для будь-якого поля / С існує природний кільцевий гомоморфізм цілих чисел Z у просте підполі з / С Таким чином, у формулах експоненціального відображення, що описує ті автоморфізми алгебри L, які породжують відповідні групи Лі, цілісний базис дозволив Шевалле замінити поле комплексу на полі/С. Зокрема, для кінцевого поля/С виходять кінцеві групи. Цим доведено, що D6 (хг, 0) є топлінійним ізоморфізмом, і, отже, доведено, що обмеження нормального розшарування експоненційного відображення є локальним ізоморфізмом на нульовому перерізі. Позначимо через - f петлю в Stab (F), яка є образом сегмента [0 Х] С stab (F) при експоненційному відображенні.