Елементи проективної геометрії Перспектива та проективна геометрія
Конічні перерізи
Значить всі міркування та докази, в яких зустрічаються бісектриси, перпендикуляри, кола, не можуть бути використані в проектній геометрії. Все, що ми можемо собі дозволити – це складні відносини точок і прямих, зокрема гармонійні четвірки. І насамперед необхідно знайти проективний аналог кола.
Розглянемо центральну проекцію кола на площину. Пучок прямих, які здійснюють проекцію, утворює конічну поверхню.
Слід, який утворює ця конічна поверхня при перетині з площиною і є центральною проекцією кола. З евклідової геометрії відомо, що конічні перерізи бувають трьох різних типів: еліпс, парабола, гіпербола.
З проективної точки зору жодної різниці між ними немає. Відмінність полягає лише у взаємному розташуванні конічного перерізу (або, як часто кажуть «коніки») та нескінченно віддаленої прямої. Еліпсом назвемо конічний перетин, що перетинає нескінченно віддалену пряму, параболою - конічний перетин, що стосується нескінченно віддаленої прямої, і гіперболою - якщо він перетинає нескінченно віддалену пряму. Асимптоти гіперболи – це дотичні у нескінченно віддалених точках.
Оскільки нескінченно віддалена пряма нічим не відрізняється від будь-якої іншої прямої проективної площини, то й різниці між еліпсом, параболою та гіперболою на проективній площині немає.
Тепер дамо визначення поляри точки щодо довільного конічного перерізу. Оскільки за будь-якої проекції гармонійна четвірка залишається гармонійною четвіркою, визначення не зазнає істотних змін.
Візьмемо довільну точку А на проектній площині і проведемо через неї всі прямі, що перетинають конічний перетин.Будемо для кожної хорди МР будувати точку так, щоб точки АВ, МР утворили гармонійну четвірку. Всі такі точки лежать на одній прямій, яка називається полярною точкою А щодо конічного перерізу. Справді, при центральній проекції коло перетворюється на конічний перетин, гармонійна четвірка – в гармонійну четвірку, пряма – у пряму.
Д
Побудова поляри однією лінійкою
Справді, на кожній стороні чотиривершинника утворилося гармонійною четвіркою. Наприклад, діагональ АВ перетинає сторони чотиривершинника в точках, які разом із точкою З гармонійно поділяють кінці двох хорд конічного перерізу. Отже, пряма АВ є полярною точки С. Аналогічно, прямі АС та СВ – це поляри точок С та А.
Тривершинник АВС називається автополярним тривершинником конічного перерізу, оскільки кожна його сторона є полярною протилежною вершини.
Отриманий креслення можна відтворити, починаючи з однієї з точок А, В або С. Достатньо провести через неї будь-які дві прямі, які перетнуть коніку в чотирьох точках, а потім добудувати інші сторони і діагоналі чотиривершинника. Тепер ми можемо побудувати поляру будь-якої точки щодо будь-якого конічного перетину. Таким чином, якщо дана будь-яка точка поза конічним перерізом, можна побудувати дві дотичні за допомогою однієї лінійки.
Цю побудову з однаковим успіхом можна застосовувати до параболи, гіперболі або еліпсу, і, зокрема, до кола. Те, що стосуються докола дійсно можна будувати таким чином, знову ж таки є дуже складне завдання з «класичної» геометрії. У всякому разі, античним геометрам ця побудова не була відома.
Часто з технічних міркувань використовують дещо іншу побудову, яка не виходить далеко за межі кола (конічного перерізу).
Зауважимо також, що всі проективні властивості поляр і полярного перетворення можна вважати доведеними для довільного конічного перерізу на проективній площині. Якщо, наприклад, відомо, що на евклідовій площині полярне перетворення щодо кола зберігає складне відношення, то побудувавши центральну проекцію на будь-яку іншу площину, побачимо, що коло стане конікою, полюси та поляри залишаться полюсами та полярами, а всі складні відносини збережуться. Отже, твердження теореми залишиться вірним.
Ще про вписаний чотиривершинник
Проводячи три діагоналі вписаного чотиривершинника ABCD, отримуємо автополярний тривершинник PQR. Кожна його вершина є полюсом протилежної сторони. Значить, поляра PQ перпендикулярна до прямої ОR, що з'єднує полюс R і центр кола O. Так само перпендикулярні прямі PR і OQ, а також QR і ОР. Виключаючи з формулювання полюси та поляри, отримуємо теорему Брокара.
Нехай точки A, B, C, D лежать на колі, а пари прямих АВ і CD, ВС і AD, АС і BD перетинаються відповідно в точках Р, Q, R. Тоді висоти трикутника PQR перетинаються в центрі кола. 12>
До
Ось ще одна теорема, яку легко отримати, використовуючи полюси та поляри. Візьмемо на колі(Конічний переріз) чотири точки А, В, С, D. Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці S, а прямі АС і BD - в точці М. Як відомо, поляра точки S проходить через точку М.
У той самий час із принципу двоїстості слід, що поляру точки S можна побудувати, з'єднавши полюси Р і Q прямих АВ і CD. Ці полюси легко знайти як точки перетину дотичних у вершинах А, В і C, D. Значить, точки P, Q, M лежать на одній прямій.
П
Якщо навколо кола (конічного перерізу) описаний чотиривершинник, то прямі, що з'єднують точки торкання протилежних сторін, і діагоналі чотиривершинника перетинаються в одній точці. . Крім того, надалі буде доведена теорема Бріаншона, для якої теорема про описаний чотиривершинник є природним окремим випадком. Спробуємо тепер застосувати доведені теореми на дослідження властивостей гіперболи. Нагадаємо, що гіперболою називається конічний переріз, що перетинає нескінченно віддалену пряму. Дотичні у двох нескінченно віддалених точках називаються асимптотами гіперболи.
Н
Нехай асимптоти гіперболи перетинаються у точці Р, полюсі нескінченно віддаленої прямої. Проведемо дотичну довільну точку М. Ця дотична перетинає поляру точки Р і дві дотичні, проведені з точки Р, вточках А, В, До таких, що АВ, МК – гармонійна четвірка (чому?). Це вірно для будь-якої точки Р, що лежить поза конічним перерізом.
Але якщо точка К є нескінченно віддаленою, то точка М, як відомо, буде серединою відрізка АВ. Отримуємо теорему:
Відрізок дотичної до гіперболи, відтятий асимптотами, ділиться точкою дотику навпіл.
Ще одна важлива властивість гіперболи можна отримати за допомогою теореми про описаний чотиривершинник.
Розглянемо чотиривершинник ABCD, сторонами якого є дві дотичні та дві асимптоти (теж дотичні). У силу доведеної теореми, прямі АС і BD перетинаються в точці, що лежить на прямій, що з'єднує точки торкання гіперболи з прямими AD і ВС, тобто у віддаленій точці.
Це означає, що прямі АС та BD паралельні. Отже, площі трикутників АВС і ADC рівні, звідки випливає рівність площ трикутників АВР і СDР. Значить вірна теорема:
Трикутник, утворений асимптотами гіперболи та довільною дотичною, має постійну площу.