Емпіричні математичні моделі
Перехід до емпіричних моделей передбачає відмову від аналітичних методів дослідження. Тому емпіричні моделі більш різноманітні і включають різні за формою математичні залежності.
Під час розробки емпіричної математичної моделі передбачається використання експериментальних даних, отриманих під час випробувань об'єктів. Результати таких випробувань завжди є наборами величин, що характеризують роботу об'єкта або системи при різних поєднаннях керуючих параметрів.
Найбільш ефективним засобом представлення результатів експериментів у системах математичного моделювання є емпіричні моделі.
Об'єкт ідентифікації є так званою «чорною скринькою» з деяким числом регульованих (або, принаймні, вимірюваних) входівхі одним або декількома виходами, що спостерігаються (вимірюються) (Рис. 3.1).
Тутxi- керуючі змінні; wi- невизначеності (шуми);qi- обмеження;W- характеристична функція.
Завданням ідентифікації є побудова моделі об'єкта за результатами спостережень його реакцію обурення довкілля.
При цьому необхідно враховувати помилки, що виникають під час вимірювання характеристик об'єкта.
Потрібно побудувати залежність (модель)
яка описує характеристики системи, що вивчається.
Це рівняння називаєтьсярівнянням регресіїі описує поверхню (гіперповерхню) відгуку, що характеризує емпіричну модель.
Зазвичай передбачається, що наявні експериментальні дані даютьдостатньо інформації для відтворення математичного опису об'єкта.
На рис. 3.2 показано рішення задачі ідентифікації для деякого набору даних, отримане за допомогоюлінійної регресійної залежності:W = a + bx.
1)Форма математичної моделі відома заздалегідь, а завдання ідентифікації зводиться до визначення коефіцієнтів цієї моделі. Так, опис низки загасаючих чи розвиваються дається залежностями експоненційного типу (Рис. 3.3). Завданням дослідження є визначення коефіцієнтів a, b.
2)Форма математичної моделі заздалегідь невідома. У цьому випадку для ідентифікації моделі використовуються відрізки нескінченних рядів, а завдання полягає у визначенні числа членів ряду та коефіцієнтів при цих членах. Модель може бути представлена у вигляді
,
деfq(xi) – деякі задані функції; bqi- коефіцієнти регресії;q =0, 1, ...,l.
В одновимірному випадку (k= 1) рівняння набуває вигляду
.
Конкретний вид моделі залежить від вибору функційfq(x), за якими проводиться розкладанняW.Наприклад, при описі коливальних процесів зручно використовувати ряд Фур'є (Рис. 3.4 ).
Часто як функціїf0(x),f1(x),f2(x),…,fl(x) виступають статечні функціїх0 ,х1 ,х2, ...,х l. Якщо обмежитися першими членами розкладання, то рівняння зведуть до лінійних, квадратичних та інших поліноміальних моделей. Однак поки що залишається не ясним, скільки членів ряду забезпечує найкращий опис досліджуваного процесу.
Метод кінцевих елементів як універсальний метод інженерних розрахунків складних систем
Метод кінцевихелементів, розроблений на основі матричних методів розрахунку механічних конструкцій, розглядається сьогодні як спосіб вирішення завдань, що описуються рівняннями математичної фізики у приватних похідних. Розглянемо метод кінцевих елементів з цього погляду, оскільки у більшості випадків, коли цей метод включається до системи автоматизованого проектування (CAE), він служить для моделювання механічних, теплових та електричних завдань.
Основа методу кінцевих елементів полягає у визначенні способу розбиття області на підобласті (кінцеві елементи) без перекриття та перетину. На рис. наведено кілька прикладів розбиття для плоских та об'ємних тіл.
розбиття у двовимірних задачах (трикутні елементи), розбиття у тривимірних задачах (тетраедри).
Після розбиття області на елементи здійснюють рішення системи рівнянь алгебри, результати рішення надаються в зручній для користувача формі.
Схема організації розрахунку методом кінцевих елементів
Головний недолік методу кінцевих елементів полягає у необхідності складання обчислювальних програм та застосування обчислювальної техніки. Обчислення, які потрібно проводити під час використання методу кінцевих елементів, занадто громіздкі для ручного рахунку навіть у разі вирішення дуже простих завдань. Для вирішення складних завдань необхідно використовувати швидкодіючі, потужні комп'ютери, що мають велику пам'ять.