Формула Тейлора для поліномів
Ступінь полінома [ред.]
| Визначення: |
| Нехай поліном [math]P_n(x) = \sum\limits_^n a_kx^k[/math] . Тоді при [math]a_n \ne 0[/math] , [math]n = \deg P_n[/math] -ступінь полінома. |
Теорема Тейлора [ред.]
| Теорема (Тейлор): |
| Доказ: |
| [math]\triangleright[/math] |
Встановимо існування коефіцієнтів [math] b_0, b_1, \ldots, b_n: \P_n = \sum\limits_^n b_k(x-x_0)^k[/math]. Смішний факт: [math] x = x - x_0 + x_0 [/ math]. Тоді [math]x^k = (x - x_0 + x_0)^k = \sum\limits_^k C_j^k (x - x_0)^j x_0^[/math] [math]P_n(x) = \sum\limits_^n a_kx^k = \sum\limits_^n a_k \sum\limits_^k C_j^k (x - x_0)^j x_0^[/math] Так як у цій повторній сумі [math]x - x_0[/math] присутній максимум в [math]n[/math]-го ступеня, то коефіцієнт при старшому ступені мати індекс [math] n [/math] . Зібравши коефіцієнти при однакових ступенях [math]x-x_0[/math], отримаємо шукані коефіцієнти [math]b_i[/math] Тепер доведемо, що [math]b_k = \frac(x_0)>[/math]. [math](x^p)^ = p(p-1)(p-2) \ldots(p - k + 1)x^ [/ Math] . Звідси видно, що й порядок диференціювання [math]k[/math] :
Отже, якщо порядок не дорівнює [math]k[/math], то значення [math]k[/math]-й похідної в нулі одно [math] \ left. (x^p)^ \right_0 = 0[/math] Тоді [math](P_n(x))^ = \left(\sum\limits_^n b_k (x-x_0)^k \right)^[/math] При [math]j \leq n[/math] :[math]P_n^(x) = \sum\limits_^n b_k ((x - x_0)^k)^[/math] |