Формули Гріна - Студопедія

Запишемо формулу Остроградського-Гаусса:

. (8.32)

або, з використанням оператора Гамільтона,

. (8.33)

Іноді формулу Остроградського-Гаусса називаютьтеоремою про дивергенцію, оскільки з неї випливає, що

. (8.34)

Використовуючи формули векторного аналізу, можна записати аналогічні вирази для ротора і градієнта.

Для ротора можна записати (теорема про ротор ):

. (8.35)

або, в інших позначеннях,

. (8.36)

Праву частину у формулі (8.35) або (8.36) можна інтерпретувати яквекторний потік векторного поляa через поверхнюS(на відміну від скалярного поля у формулі Остроградського-Гаусса). З формули (8.35) випливає, що ротор можна визначити так:

. (8.37)

Для градієнта можна записати (теорема про градієнт ):

, (8.38)

або, в інших позначеннях,

. (8.39)

Праву частину у формулі (8.38) або (8.39) можна інтерпретувати яквекторний потік скалярного поля U через поверхнюS. З формули (8.38) випливає, що градієнт можна визначити так:

. (8.40)

Зазначимо, що формули (8.35) і (8.38) можна довести, використовуючи теорему Остроградського-Гаусса, якщо застосувати цю формулу до кожної компоненти відповідного векторного поля.

Примітка 1. Подібно до того, як формули (8.35) і (8.38) були отримані в результаті поєднання формули Остроградського-Гаусса з алгебраїчними операціями над векторними та скалярними полями, аналогічно можна отримати нові формули , використовуючи формулу Стокса:

. (8.41)

Ці нові формули можна записати так:

, (8.42)

. (8.43)

Теоретично гармонійних функцій помітну роль грають звані формули Гріна, висновку яких ми переходимо.

Перша формула Гріна має такий вигляд

. (8.44)

,

то, враховуючи, що div gradv=Dv, отримаємо

.

.

Застосовуючи до першого доданку правої частини формулу Остроградського-Гаусса, отримаємо

. (8.45)

Перепишемо формулу (8.44) в такий спосіб

. (8.46)

Змінюючи місцями функціїuіv, матимемо

. (8.47)

Віднімаючи з формули (8.46) вираз (8.47), отримаємодругу формулу Гріна :

. (8.48)

З отриманих формул Гріна можна одержати ще кілька формул. Зокрема, якщо у формулі (8.44) покластиu=v, отримаємо

; (8.49)

якщо у формулі (8.48) покластиvº1, то отримаємо

. (8.50)

Рівність (8.50) іноді називаютьтеоремою Гаусса.

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---