Формули потрійних кутів зворотні тригонометричні функції
Формули потрійних кутів
Зворотні тригонометричні функції
Деякі значення тригонометричних функцій
Запитання для перевірки
1. Що таке числове коло?
2. Перерахуйте ознаки числового кола.
3. Яка величина приймається за одиницю виміру при градусному вимірі кутів?
4. Що таке радіан?
5. За якими формулами переводять градусний захід кута в радіану і навпаки?
6. Виразіть у радіанах кути, рівні 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360.
7. Чому хибний запис = 180?
8. За якої умови довжина дуги дорівнює її радіанною мірою?
9. Який кут називається кутом повороту?
10. Який кут повороту називається позитивним? негативним?
11. Задайте формулою загальний вигляд кутів повороту.
12. Сформулюйте правило "повного обороту".
13. Які функції називаються тригонометричними?
14. Дайте визначення функції синусу; косинус; тангенс; котангенс.
15. За яких кутів не визначено тангенс? котангенс?
16. Назвіть значення тригонометричних функцій кутів 30, 45, 60.
17. Які значення може набувати синус? косинус? тангенс? котангенс?
18. Визначте знаки тригонометричних функцій залежно від того, у якій чверті є аргумент.
19. Які з тригонометричних функцій є парними, які непарними?
20. Чому дорівнює період синусу? косинуса? тангенсу? котангенсу?
1. Числова пряма
Алгебраїчні функції - це функції, задані аналітичним виразом, у записі якого використовуються алгебраїчні операції над числами та змінною(Додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь, вилучення кореня).
Числова пряма - це математична модель для представлення чисел, в якій кожне число відповідає точці на прямій, причому відстань від точки до початку відліку дорівнює модулю числа:
Ознаки числової прямої:
1) початок відліку;
2) одиничний відрізок;
3) позитивний напрямок (стрілка).
11. Найпростіші тригонометричні нерівності
Щоб вирішити найпростішу тригонометричну нерівність потрібно:
1. Провести пряму до відповідної функції.
2. Виділити дугу, де лежать розв'язання нерівності.
3. Знайти кінці цієї дуги, пам'ятаючи, що обхід відбувається проти годинникової стрілки від меншого числа до більшого.
4. Додати до кінців інтервалу числа, кратні періоду функції.
Вирішити нерівність.
Всі рішення, що задовольняють задану нерівність, лежать на дузі l . Знайдемо її кінці:
З урахуванням періоду синуса, запишемо відповідь:
10. Найпростіші тригонометричні рівняння
Якщо права частина рівняння — негативне число, слід скористатися властивостями відповідних зворотних тригонометричних функцій, тоді :
При а = 1; 0; –1 рішення рівняння записується у вигляді ( n Z ):
2. Числове коло
Одиничне коло - це коло, радіус якого прийнятий за одиницю виміру.
Числове коло — це одиничне коло із встановленою відповідністю між дійсними числами та точками кола:
Вказану відповідність можна визначити наступним чином: кожному числу відповідає така точка Р числового кола, щоб дуга ОР мала довжину і була відкладена в позитивному напрямку якщо > 0 і внегативному, якщо Ознаки числового кола :
1) початок відліку – правий кінець горизонтального діаметра;
2) одиничний відрізок – довжина радіуса кола;
3) позитивний напрямок – проти годинникової стрілки.
Відкладати можна дуги будь-якої довжини. Тобто числове коло можна розглядати як коло радіусу 1, на яку «натана» числова пряма :
3. Радіанний захід кутів та дуг
Кут 1 — це центральний кут, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює частині кола.
Кут повороту — це кут, отриманий обертанням променя біля його початку від початкового положення ОА до кінцевого положення ОВ .
Кут в один радіан - це центральний кут, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.
Радіанний захід кута чисельно дорівнює шляху, який проходить точка по дузі одиничного кола, на яке спирається цей кут:
Для зв'язку радіанів та градусів використовують розгорнутий кут:
1 . Кажуть: "кут радіан" або частіше "кут". Позначення «радіан» чи «рад», зазвичай, опускають.
2. Термін «радіальне вимір кутів» рівносильний терміну «числовий вимір кутів», тобто. фраза «кут дорівнює двом радіанам» дорівнює фразі «кут дорівнює числу 2» і навіть «кут дорівнює двом». Тому питання типу «Чому одно?» некоректний. Потрібно запитувати: «Чому дорівнює кут?» (60 ) або «Чому дорівнює число?» ( 1,05).
9. Зворотні тригонометричні функції
Арксинусом числа а називається таке число х з інтервалу, синус якого дорівнює а.
Арккосинусом числа а називається таке число х з інтервалу [0; ], косинус якого дорівнює а .
Арктангенсом числа а називається таке число х з інтервалу, тангенс якого дорівнює а.
Арккотангенсом числа аназивається таке число х з інтервалу (0; ), котангенс якого дорівнює а.
1. Для негативних значень аргументу:
2. З визначення аркфункції відразу випливає, що:
VI. Формули половинного аргументу (знак - за функцією в лівій частині):
VII. Формули сум:
VIII. Формули творів:
IX. Універсальна тригонометрична підстановка:
X. Деякі додаткові формули:
4. Кут повороту
Повний оберт - це кут повороту, рівний 2 радий (або 360).
Деякі положення кінцевої точки кута повороту:
5. Визначення тригонометричних функцій
Функція косинус - це функція, яка ставить у відповідність кожному числу t абсцис точки М (t) координатного кола.
Функція синус - це функція, яка ставить у відповідність кожному числу t ординату точки М (t) координатного кола.
Якщо М ( t ) = М ( х ; у ), то х = cos t , у = sin t
М(t) = М(cos t; sin t)
Запис М(t) показує положення точки М на координатному колі, а запис М(cost; sin t) - положення тієї ж точки на координатній площині.
Функція тангенс - це окреме від поділу функції синус на функцію косинус.
Функція котангенс - це окреме від поділу функції косинус на функцію синус.
Оскільки розподіл на нуль неможливий, функції tg t і ctg t визначені задля всіх значень аргументу. Тангенс визначений лише для значень аргументу, при яких cos t 0, котангенс визначений при sin t 0:
Тригонометричні функції - це загальна назва функцій синус, косинус, тангенс та котангенс.
I. Основне тригонометричне тотожність і наслідки з нього:
ІІ. Формули (теореми) складання аргументів:
ІІІ. Формули наведення:
1) функція змінюється на кофункцію під час переходу через вертикальну вісь і змінюється під час переходу через горизонтальну;
2) перед наведеною функцією ставиться знак функції, вважаючи кутом першої чверті.
IV. Формули подвійного аргументу:
V. Формули зниження ступеня:
Значення тригонометричних функцій деяких кутів