Моно-моностатичний об’єкт, Журнал Популярна Механіка

Ця властивість, яка називається моно-моностатичністю, обумовлена конструкцією іграшки — на дні знаходиться вантаж, а зверху вона порожня. А чи можна зробити однорідний мономоностатичний об'єкт? Двом угорським інженерам це вдалося.

Моно-моностатичні тіла, що мають одне стійке та одне нестійке положення рівноваги, вислизають від уяви звичайної людини. Але не від природи: панцирі деяких черепах та жуків мають форму, яка полегшує їм переворот із «голови на ноги».

Габор Домокош здобув інженерну освіту в Угорщині, але цікавився не практичною, а математичною стороною завдань. Наприкінці 1980-х він на рік поїхав попрацювати у Корнеллському університеті, де познайомився з Енді Руїною та Джимом Пападопулосом. Як розповідав Габор Домокош у своїй лекції, «Джим зацікавився положеннями рівноваги різних тіл, виготовлених із фанери (плоських, з однорідною масою) та дроту (маса яких розподілена за контуром). Наприклад, квадрат має чотири положення стійкої рівноваги, він може стояти на кожній зі своїх сторін, і чотири положення нестійкої рівноваги стоячи на кожній з вершин. Еліпс має положення стійкої рівноваги при горизонтальній орієнтації довгої осі та нестійке – при вертикальній; він симетричний, тому має два стійкі і два нестійкі положення рівноваги.

Джим дійшов висновку, що це мінімальна кількість положень рівноваги для будь-якої фігури». У 1994 році Габор Домокош, Енді Руїна та Джим Пападопулос довели, що двовимірний об'єкт, що має лише один стан стійкої та один стан нестійкої рівноваги, не може існувати.

Темна матерія: загадкова речовина всесвіту

Прискорювач частинок може перетворити Землю на надщільну кулю.

Ім'я: Габор Домокош (Gabor Domokos) // Рік народження: 1961 // Країна: Угорщина // Освіта: Будапештський університет технології та економіки - інженерна архітектура, 1986 // Посада: професор факультету механіки, матеріалів та структур Будапештського університету технології та економіки, ад'юнкт-професор механіки та аерокосмічної інженерії Корнеллського університету

Обід з Арнольдом

У 1995 році Габор Домокош зустрівся з одним із найбільших математиків XX століття Володимиром Арнольдом на Міжнародному конгресі індустріальної та прикладної математики у Гамбурзі. Арнольд читав там лекцію, присвячену теоремі Якобі. Як згадує Габор Домокош, «Арнольд розповідав про різні завдання — диференціальну геометрію, оптику, механіку. Кожне завдання мало відношення до чотирьох. Чотири – у цьому завданні, чотири – у наступному, чотири, чотири, чотири. Тоді я згадав про те, що в нашій статті також було доведено, що плоске тіло має чотири положення рівноваги — два стійкі, два нестійкі. Це змусило мене замислитися: може, і наше завдання стосується цієї теореми?»

Всі інші види тіл (з великою кількістю положень рівноваги) можуть бути отримані з гомбеца шляхом послідовного видалення малих кількостей матеріалу. Тобто в математичному сенсі гомбець є «предком» усіх форм, а отже, не існує загального алгоритму створення гомбеца з довільного тіла з великою кількістю рівноваги. У природі все інакше: гомбець не «предок» форм каменів, а кінцева (хоча й недосяжна) мета їхньої еволюції — і це справжня загадка.

Після конференції, як згадує Габор Домокош, йому вдалося поговорити з Володимиром Арнольдом, хоч розмовутривав лише 15 хвилин: «Я розповів про фігури з фанери та дроту і про те, що вони мають не менше двох положень стійкої та не менше двох нестійких рівноваг, у сумі чотири. Арнольд вислухав мене і замислився. Через п'ять хвилин я запитав його, чи він хоче знати, як ми це довели, на що він відповів: «Звичайно, я знаю, як ви це довели. Але це не те, про що я гадаю. Питання в тому, чи це стосується теореми Якобі чи ні». Через якийсь час він продовжив: «Я думаю, що теорема Якобі та ваше завдання пов'язані, але зв'язок непрямий. Я думаю, що є ще одна теорема, яка включає теорему Якобі та ваше завдання. Я міг би сказати більше, якби ви розповіли мені про тривимірну версію вашого завдання». Я з гордістю описав йому контрприклад - тіло, що має одне положення стійкої рівноваги: зрізаний циліндр.

На що Арнольд зауважив: «Ви, звичайно, знаєте, що це не контрприклад! Головний результат вашої роботи полягає не в тому, що тіло має два і більше стійкі положення рівноваги, а в тому, що воно має чотири положення рівноваги. І ваш циліндр має чотири положення рівноваги — одне стійке та три нестійкі. У той самий час тіло з меншим числом положень рівноваги може існувати. Напишіть мені листа, коли знайдете його».

Колумб, яйце та м'ясний пиріжок

Ідея такої форми ґрунтується на інтуїтивному припущенні про те, що дуже малі зміни форми об'єкта можуть призвести до виникнення нових тіл з б? більшою (але не меншою!) кількістю положень рівноваги. Це можна проілюструвати легендою про «колумбове яйце». За легендою, Христофор Колумб, повернувшись до Іспанії після відкриття Америки, сидів на званій вечері, влаштованій на його честь. Хтось із присутніх заявив: «Відкрити Америку дуже просто, це мігзробити кожен», — на що Колумб запропонував гостям поставити яйце вертикально на стіл. Коли він переконався, що ніхто не може цього зробити, то прим'яв яйце з одного кінця і поставив його на отриманий плоский торець, додавши: Ось тепер це може зробити кожен».

Що станеться з черепахою, якщо вона випадково перевернеться на спину? Виявляється, що серед 200 видів черепах, що існують на Землі, є довголапі, які користуються лапами, щоб перевернутися зі спини на черевце, і коротколапі. До останніх відносяться індійські зірчасті черепахи Geochelone elegans, а перевернутися їм допомагає форма панцира, близька до форми гомбеца. Звичайно, це не зовсім коректна аналогія: черепахи не є ні однорідними, ні моно-моностатичними. Але їм не потрібно бути точно моно-моностатичними, оскільки вони здатні допомагати перевороту рухом лап. З іншого боку, близькість до форми моно-моностатичного об'єкта навряд можна вважати випадковим збігом — це явний продукт еволюції.

Для побудови гомбека Домокош та Варконьї, по суті, змінювали поверхню кулі, відстежуючи два параметри: опуклість та положення центру тяжіння. Звичайно, існує безліч тіл, що володіють властивостями моно-моностатичності, і гембець - лише одне з них.

Висока точність

Час збирати каміння

«На пошук Гомбека у мене пішло десять років, — каже Домокош. — За цей час я зробив усе, що можна було зробити для вирішення завдання. Проводячи відпустку з дружиною на Родосі в Греції, я подумав: мабуть, шукане тіло можна знайти серед каміння на пляжі. Ми почали збирати каміння. Протягом тижня щоранку приходили на пляж, збирали каміння, удень розглядали їх, записували в таблицю кількість стійких і нестійких точок для кожного каменю, а ввечері яповертав каміння на місце. За цей час ми зібрали дві тисячі камінців. Це була божевільна ідея! Але виявилось, що серед каміння немає потрібних форм.

Коли я вдруге зустрівся з Арнольдом і подарував перший зроблений гомбець (G?mb?c 001), розповівши при цьому про свої результати, він звернув увагу на мою табличку, в якій було класифіковано каміння за кількістю положень рівноваги. Згідно з нею, більшість каменів близькі за формою до еліпсоїдів і мають два положення стійкої та дві нестійкої рівноваги. Арнольд висловив припущення, що, найімовірніше, природна абразія (тобто поступове стирання каміння) зменшує кількість положень рівноваги. Його ідея виявилася вірною, проте при досягненні двох положень стійкого та двох нестійких рівноваг процес зупиняється. Подальше зменшення кількості положень рівноваги - дуже малоймовірна подія. Тому гомбець, що має мінімальну кількість положень рівноваги, майже ніколи не зустрічається у природі. Британський фізик, професор університету Брістольського сер Майкл Беррі якось сказав: «Гомбець існує в природі, але тільки як мрія». Тим самим сер Беррі хотів підкреслити, що кожен камінь на морському березі прагне форми гомбеца, але не може її досягти. Якби ви спитали камінь, чи хоче він бути гомбецем, він би відповів: «Звичайно, хочу!» Чому так виходить — завдання, над яким я зараз працюю».

Дякуємо за допомогу у підготовці матеріалу газету «Троїцький варіант – Наука».