Формулювання аксіоматичної теорії
Формулювання аксіоматичної теорії - розділ Освіта, Аксіоматична теорія У цьому параграфі вводиться поняття формулювання теорії та незалежності системи.
У цьому вся параграфі вводиться поняття формулювання теорії та незалежності системи аксіом.
Як мовилося раніше, неформальна теоріяT включає у собі певний списокT0невизначених термінів, списокT1визначених термінів, списокP0аксіом та списокP1всіх інших висловлювань, які можна вивести зP0за деякими фіксованими логічними правилами. Призначення множиниT0полягає в тому, щоб отримати з нього безлічT0ÈT1всіх використовуваних у теоріїT термінів; аналогічно, безлічP0потрібно для отримання множиниP0ÈP1всіх теорем теоріїT. Упорядковану пару зазвичай називаютьформулюваннямтеоріїT.
Вивчення теоріїT може призвести до виявлення найрізноманітніших і найкорисніших інших її формулювань. Завдання будь-якого з цих формулювань рівносильне заданню деякого підмножини множиниT0ÈT1і підмножини множиниP0ÈP1, що складається з висловлювань, виразних у термінах елементів множини , причому з висловлювань, що входять до , можна вивести всі інші теореми цієї теорії. Щоб пара виду була формулюванням теоріїT, достатньо, очевидно, щоб терміни зT0могли бути визначені через терміни з і щоб висловлювання зP0могли бути виведені з висловлювань з .
Багатьом загальновідомих аксіоматичних теорій є різні формулювання. Різні формулювання будь-якої теорії - це ні що інше, як різні можливі підходи до однієї і тієї ж математичної структури.Залежно від прийнятих критеріїв можна віддати перевагу тому чи іншому з таких різних формулювань. Підставами такого переваги можуть, наприклад, служити міркування естетичного характеру; важливу роль може грати і бажання мати якомога простіша безліч аксіом, і навіть можливість витонченіших доказів теорем. Одні дослідники віддають перевагу якомусь конкретному формулюванню теорії, знаходячи її більш «природної», ніж інші. Інші прагнуть мати формулювання, що включає мінімальну кількість первинних термінів або аксіом.
Здавалося б, від формулювання аксіоматичної теорії нічого не залежить. Дві різні формулювання і однієї теоріїT визначають, очевидно, те саме безліч теорем. Однак, дослідники, вирушаючи від різних формулювань, часто розвивають теорію у різних напрямках. При цьому безліч теорем, доведених дослідниками, які взяли за основу формулювання, може значно відрізнятися від багатьох теорем, доведених дослідниками, які взяли за основу формулювання. Різні формулювання теорії у часто визначають різні напрями досліджень. Так, наприклад, теорія графів і теорія бінарних відносин значно відрізняються один від одного наборами доведених теорем, хоча по суті є різними формулюваннями однієї і тієї ж теорії.
Формулювання неформальної теорії можна характеризувати з допомогою такого поняття, як незалежність багатьох аксіом.
Визначення 6.1. Безліч аксіом називаєтьсянезалежним, якщо виняток будь-якої аксіоми з цієї множини призводить до зменшення запасу теорем; інакше безліч аксіом називають залежним.
Окрема аксіома (розглянута як елемент множини аксіом деякого формулювання)незалежна, якщо її виняток із цієї множини зменшує запас теорем, і залежна в іншому випадку. Зрозуміло, що незалежна аксіома може бути виведена з інших аксіом. Зрозуміло, незалежність будь-якої множини аксіом рівносильна тому, що незалежна кожна аксіома з цієї множини.
Розглянемо несуперечливу теоріюT з формулюванням і нехайA– одна з її аксіом. Щоб переконатися у незалежності аксіомиAвід інших аксіом , треба довести, що ніA, ні вивести з . Для цього достатньо побудувати дві моделі теорії з формулюванням так, щоб в одній з них виконувалася пропозиціяA(це буде модель теоріїT ), а в іншій - . Оскільки несуперечність теоріїT вважається встановленою раніше, то першу модель фактично будувати зайве. Достатньо побудувати другу модель – модель теорії з формулюванням.
Наприклад, незалежність системи аксіомA1, A2, A3теорії афінних площин може бути доведена за допомогою побудови трьох інтерпретацій теорії, для кожної з яких не виконується одна з аксіомA1, A2, A3, а дві інші виконуються (рис. 6.1).
Мал. 6.1. Три інтерпретації для доказу незалежності аксіомA1, A2, A3відповідно
Незалежність не є обов'язковою вимогою системи аксіом. Незалежність системи аксіом свідчить у сенсі про витонченості що містить цю систему формулювання теорії. Не завжди для тієї чи іншої аксіоматичної теорії доцільно вибирати незалежну систему аксіом: витонченість системи аксіом може призвести до громіздкості доказів теорем теорії.