Функція (математика)

Відображенняабофункція(лат. functio -виконання, здійснення) - одне з основних понять математики, що виражає залежність однієї величини від іншої.

Зміст

Функція як відображення [ред.]

Найбільш поширене трактування поняття функції полягає у його ототожненні з поняттям відображення:

Визначення.Нехай \(X\) і \(Y\) - дві множини. Закон \(F\), згідно з яким кожному елементу \(x \in X\) поставлений у відповідністьєдинийелемент \(y \in Y\), називається відображенням множини \(X\) у безліч \ (Y\) або функцією, заданою на (X) зі значеннями в (Y).

Відображення позначають так:

  • \(F:\ X \to Y\) або \(X\to^ Y\) для відображення \(F\), множини \(X\) у безліч \(Y\).
  • \(y=F(x)\) або \(F:x \mapsto y\) або \(x \mapsto^ y\).

  • Безліч \(X\) тоді називаєтьсяобластю визначеннявідображення \(F\) (позначаєтьсяD(f)абоD(y).).
  • Безліч \(Y\) -областю значеньвідображення \(F\).
  • Елемент \(x\) називаютьаргументомабонезалежною перемінною,
  • Елемент \(y=F(x)\) —значеннямабозалежним перемінним.

При необхідності можна розрізняти відображення залежно від природи множин (X) і (Y). Якщо \(X\) і \(Y\) - числові множини, такі, як \(\mathbb\) або \(\mathbb\), то відображення називають функцією. Якщо \(X\) або \(Y\) багатовимірні, наприклад, \(\mathbb^n\) або \(\mathbb^n\), то відображення називаютьвектор-функцією. Якщо \(X\) - довільної природи, а \(Y\) - поле, то відображення називаютьфункціоналом. У спеціальних випадках використовують інші терміни: оператор, функтор, перетворення, морфізм тощо.буд.

Формальне визначення [ред.]

Нехай дані дві множини \(X\!\) і \(Y\!\). Відображення \(F\!\) множини \(X\!\) у безліч \(Y\!\) є підмножина \(F\subset X \times Y\), таке, що для будь-якого \(x\in X \) Існує єдиний елемент \(y\in Y\), такий, що \((x,y)\in F\). Тут \(X \times Y\) позначає прямий добуток множин \(X\) і \(Y\).

Доповнення до формального визначення [ред.]

Подібне визначення, однак, виключає визначення неоднозначних функцій, які застосовуються в математиці (особливо у обчисленні функцій комплексного змінного).

Нехай дані безлічі \(X\) і \(Y\), тоді впорядкована безліч всіх пар \(f=\left\\) називається функцією одного аргументу тоді і тільки тоді, коли для будь-яких \((x',y') \in f\) і \((x'',y'')\in f\) з \(y'\neq y''\) випливає, що \(x' \neq x''\).

Фактично це означає, що зміна значення функції може статися лише внаслідок зміни її аргументу.

Це ж визначення легко узагальнити у разі функції багатьох аргументів.

Нехай дані безлічі \(X_,X_,\ldots,X_n\) і безліч \(Y\), тоді впорядкована безліч всіх кортежів \(f=\left\,x_,\ldots,x_,y)\right\> \) називається функцією \(n\) аргументів тоді і тільки тоді, коли для будь-яких \((x_',x_',\ldots,x_',y')\in f\) і \((x_'',x_ '',\ldots,x_'',y'')\in f\) з \(y'\neq y''\) слідує, що \(x_' \neq x_',\forall x\in [1 , N] \ cap \ mathbb \) [1] .

Сумішні поняття [ред.]

Звуження [ред.]

Нехай дано відображення \(F:X \to Y\), і \(M \subset X\). Тодізвуженнямфункції \(F\) на \(M\) називається функція \(\left.F\right\vert_\), яка визначається рівністю $$\left.F\right\vert_(x) = F (x), \; \forall x\in M.$$

Це визначення наголошує, що фіксаціяобласті визначення є частиною визначення функції.

Образ множини [ред.]

Нехай (M \ subset X \). Тодіобразоммножини \(M\) називається підмножина \(Y\), що визначається рівністю $$F(M) = \< F(x) \mid x \in M \>.$$

Безліч \(F(X)\) називається образом відображення \(F\).

Прообраз [ред.]

Нехай задано відображення \(F:X \to Y\), \(x\in X, \;y\in Y\) та \(y=F(x)\). Тоді \(x\) називаєтьсяобразом\(y\), а \(y\) називаєтьсяобразом\(x\). Відповідно до визначення відображення, кожен елемент \(x\in X\) повинен мати рівно один образ, але елемент \(y\in Y\) може не мати прообразів або мати один або кілька.

Приклад.Нехай дана функція \(F:\mathbb \to \mathbb\), де \(F(x) = x^2\). Тоді

  • \(y = -1\) не має прообразів;
  • \(y = 0\) має єдиний прообраз \(x = 0\);
  • \(y = 1\) має два прообрази: \(x_1 = 1\) та \(x_2 = -1\).

Повний прообраз елемента [ред.]

Нехай задано відображення \(F:X \to Y\), і \(y \in Y\). Тоді безліч \(\

Приклад.Нехай \(F:\mathbb \to \mathbb\), і \(F(x) = \sin x\). Тоді $$F^(1) = \left\+2\pi k \mid k \in \mathbb\right\>.$$

Повний прообраз безлічі [ред.]

Нехай (N \ subset Y \). Тодіпрообразоммножини \(N\) називається підмножина \(X\), що визначається рівністю $$F^(N) = \< x \in X \mid F(x) \in N \>.$$

Приклад.Нехай \(F: \mathbb \to \mathbb\), і \(F(x) = \cos x\). Тоді

Властивості прообразів і образів [ред.]

  • \(F^(A \cup B) = F^(A) \cup F^(B), \; \forall A,B \subset Y\);
  • \(F^(A \cap B) = F^(A) \cap F^(B), \; \forall A,B \subset Y\);
  • \(F(A \cup B) = F(A) \cup F(B),\;\forallA,B \subset X\);
  • \(F(A \cap B) \subset F(A) \cap F(B), \; \forall A,B \subset X\). Зауважимо відсутність рівності у разі.

Графік [ред.]

функція

Нехай дано відображення \(F: X \to Y\). Тоді йогографіком\(\Gamma\) називається безліч $$\Gamma = \ < (x,F(x)) \mid x \in X \>\subset X \times Y,$$ де \(X \times Y\) позначає декартове добуток множин \(X\) і \(Y\) .

  • Графік безперервної функції \(F:\mathbb \to \mathbb\) є кривою на двовимірній площині.
  • Графіком безперервної функції \(F:\mathbb^2 \to \mathbb\) є поверхня в тривимірному просторі.

Історичний нарис [ ред ]

Як та інші поняття математики, поняття функції склалося відразу, а минуло довгий шлях розвитку. У роботі П. Ферма «Введення та вивчення плоских і тілесних місць» (1636, опубл. 1679) говориться: «Кожного разу, коли в заключному рівнянні є дві невідомі величини, є місце». Фактично тут йдеться про функціональної залежності та її графічне зображення («місце» у Ферма означає лінію). Вивчення ліній з їх рівнянь у «Геометрії» Р. Декарта (1637) також свідчить про ясне уявлення про взаємну залежність двох змінних величин. У І. Барроу («Лекції з геометрії», 1670) у геометричній формі встановлюється взаємна зворотність дій диференціювання та інтегрування (зрозуміло, без застосування самих цих термінів). Це свідчить про цілком виразному володінні поняттям функції. У геометричному та механічному вигляді це поняття ми знаходимо і в І. Ньютона. Однак термін «функція» вперше з'являється лише в 1692 р. у Г. Лейбніца і до того ж не зовсім у сучасному його розумінні. Г. Лейбніц називає функцією різні відрізки,пов'язані з якоюсь кривою (наприклад, абсциси її точок). У першому друкованому курсі «Аналізу нескінченно малих пізнання кривих ліній» Лопіталя (1696) термін «функція» не вживається.

Перше визначення функції у сенсі, близькому до сучасного, зустрічається в І. Бернуллі (1718): «Функція - це величина, складена зі змінної та постійної». В основі цього недостатньо виразного визначення лежить ідея завдання функції аналітичною формулою. Та ж ідея виступає і у визначенні Л. Ейлера, даному їм у «Введенні в аналіз нескінченних» (1748): «Функція змінної кількості є аналітичним виразом, складеним якимось чином із цієї змінної кількості та чисел чи постійних кількостей». Втім, вже Л. Ейлер не чуже і сучасне розуміння функції, яке не пов'язує поняття функції з яким-небудь аналітичним її виразом. У його «Диференційному обчисленні» (755) говориться: «Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони змінюються, то перші називають функціями других».

Все ж таки у XVIII столітті не було достатньо ясне розуміння відмінності між функцією та її аналітичним виразом. Це знайшло свій відбиток у тій критиці, якою Л. Ейлер розв'язав завдання про коливання струни, запропоноване Д. Бернуллі (1753). В основі рішення Д. Бернуллі лежало твердження про можливість розкласти будь-яку функцію тригонометричний ряд. Заперечуючи проти цього, Л.Ейлер вказав на те, що подібна розкладність доставляла б для будь-якої функції аналітичний вираз, у той час як функція може і не мати його (вона може бути задана графіком, накресленим вільним рухом руки). Ця критика переконлива і з сучасної точки зору, бо не всі функції припускають аналітичне зображення(Щоправда, у Д. Бернуллі йдеться про безперервну функцію, яка, як встановив у 1885 К. Вейєрштрас, завжди аналітично зображається, але вона може і не розкладатися в тригонометричний ряд). Проте інші аргументи Л.Ейлера вже є помилковими. Наприклад, він вважав, що розкладання функції тригонометричний ряд доставляє нею єдине аналітичне вираз, тоді як може бути «змішаною» функцією, представимої різних відрізках різними формулами. Насправді одне одному не суперечить, але в ту епоху здавалося неможливим, щоб два аналітичні вирази, збігаючись на частини відрізка, не збігалися на всьому його протязі.

З початку ХІХ століття вже дедалі частіше визначають поняття функції без згадки про її аналітичному зображенні. У «Трактаті з диференційного та інтегрального числення» (1797—1802) З. Лакруа говориться: «Будь-яка величина, значення якої залежить від однієї чи багатьох інших величин, називається функцією цих останніх». В «Аналітичній теорії тепла» Ж. Фур'є (1822) є фраза: «Функція \(fx\) позначає функцію абсолютно довільну, тобто послідовність даних значень, підпорядкованих чи ні загальному закону і відповідних всім значенням \(x\), що містяться між \(0\) і будь-якою величиною \(x\)». Близко до сучасного і визначення М. І. Лобачевського: «…Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від (x) називати число, яке дається для кожного (x) і разом з (x) поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробовувати всі числа та вибирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати та залишатися невідомою». Там же трохи нижче сказано: «Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому сенсі,щоб числа одні з іншими у зв'язку розуміти ніби даними разом». Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадок про аналітичне завдання, яке зазвичай приписується П. Діріхле (1837), неодноразово пропонувалося і до нього.