Функція напруги Ері
Розглянемо систему координатx,у,zу твердому тілі, що у напруженому стані. У кожній точці можна визначити напругиσx, σу, σz, τxy, τxz,τyz. У разі плоского напруженого стануσz=τxz=τyz= 0. У разі плоскої деформаціїεz= 0, звідки випливає, щоσz=υ(σx+ σу).
Для плоских завдань рівняння рівноваги мають вигляд (див. також рис. 6.4)
Якщо переміщеннями у напрямкахxіyє відповідно величиниuіv,то деформації виражаються через них наступним чином:
а співвідношення між напругами та деформаціями мають такий вигляд:
де модуль зсувуμпов'язаний з модулем ЮнгаЕвиразомμ=E/[2(1 +υ) )], в якому?- коефіцієнт Пуассона.
Рівняння рівноваги (3.1) автоматично задовольняються, якщо
Функціяψназивається функцією напруги Ері. Підставляючи рівняння (3.2) і (3.4) (3.3) і виконуючи дворазове диференціювання отримаємо рівняння спільності:
У загальному випадку задача лінійної пружності про плоский деформований стан може бути вирішена, якщо відома функціяψ, яка задовольняє рівняння (3.6). Напруги, обчислені із співвідношень (3.4), повинні також задовольняти граничним умовам завдання. Функція напруги для тієї чи іншої конкретної задачі може бути обрана за наявності відповідного досвіду. Цей матеріал докладно викладено у будь-якому підручнику з теорії пружності (наприклад, [1]).