Функція, що описує зворотну пропорційну залежність, її графік

Математика

3.3.2. Функція, що описує зворотну пропорційну залежність, її графік

Функція, що описує зворотну пропорційну залежність, її графік

Повторимо теорію про функції. Функція - це правило, за яким кожному елементу однієї множини (аргументу) ставиться у відповідність деякий (єдиний! ) елемент іншої множини (множини значень функції). Тобто, якщо є функція \(y = f(x)\) , це означає, що кожному допустимому значенню змінної \(x\) (яку називають «аргументом») відповідає одне значення змінної \(y\) (називається «функцією »).

Функція, що описує зворотну залежність

Це функція виду \(y = \frac\) , де \(k \ne 0.\)

Інакше її називають зворотною пропорційністю: збільшення аргументу викликає пропорційне зменшення функції. Визначимо область визначення. Чому може дорівнювати \(x\)? Або, інакше, чому він не може дорівнювати?

Єдине число, на яке не можна ділити, - це 0, тому \(x \ne 0.\) :

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty )\)

або, що те саме:

Такий запис означає, що (x) може бути будь-яким числом, крім 0: знак «R» позначає безліч дійсних чисел, тобто всіх можливих чисел; знаком "\" позначається виключення чогось із цієї множини (аналог знака "мінус"), і число 0 у фігурних дужках означає просто число 0; виходить, що зі всіх можливих чисел ми виключаємо 0.

Безліч значень функції, виявляється, точно таке ж: адже якщо \(k \ne 0.\), то на що б ми його не ділили, 0 не вийде:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty )\)

Також можливі деякі варіації формули \(y = \frac\). Наприклад, \(y = \frac>\)- це теж функція, що описує зворотну залежність. Область визначення та область значень цієї функції такі:

\(D(y) = ( - \infty ; - a) \cup ( - a; + \infty )\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty ).\)

Розглянемоприклад, наведемо вираз до виду зворотної залежності:

Штучно ввели значення 3 в чисельник, а тепер почленно розділимо чисельник на знаменник, отримаємо:

Отримали зворотну залежність плюс число 1.

Графік зворотної залежності

Почнемо з простого випадку (y = \frac.)

Складемо таблицю значень:

Намалюємо точки на координатній площині:

З'єднуємо точки, графік виглядатиме так:

Цей графік називається «гіпербола». Як і в параболи, у гіперболи дві гілки, тільки вони не пов'язані один з одним. Кожна з них прагне своїми кінцями наблизитися до осей Ox і Oy, але їх ніколи не досягає.

Зазначимо деякі особливості функції:

1. Якщо функції перед дробом стоїть мінус, то графік перевертається, тобто симетрично відображається щодо осі Ox.
2. Чим більше число у знаменнику, тим далі графік «утікає» від початку координат.

Зворотна залежність у житті

Де нам зустрічається така функція практично? Прикладів безліч. Найпоширеніший – це рух: чим більша швидкість, з якою ми рухаємося, тим менший час нам знадобиться, щоб подолати одну й ту саму відстань. Згадаймо формулу швидкості:

де v - швидкість, t - час у дорозі, S - відстань (шлях).

Звідси можна виразити час: \(t = \frac.\)

---