Геодезична повнота - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, стаття 1
Геодезична повнота
Геодезична повнота чи, точніше, геодезична неповнота відіграє вирішальну роль викладі теорії сингулярностей у загальній теорії відносності, й у межах вона була ретельно досліджена. [1]
Теорема 5.4. Часоподібна геодезична повнота, ізотропна геодезична повнота та просторовоподібна геодезична повнота логічно не еквівалентні. [2]
Щоб вивчати геодезичну повноту лоренцевих викривлених творів, необхідно визначити зв'язність Леві-Чі-віта для їх метрик. [3]
Відповідно до 12.3.9, з геодезичної повноти випливає затвердження 3) теореми. Тому замкнені кулі (р, г) компактні як образи компактів BQ (Q, r) при безперервному відображенні. Залишилося довести, що з метричної повноти випливає геодезична повнота. [4]
Крім того, з геодезичної повноти псевдориманова різноманіття на відміну від ріманова різноманіття (СР [5]
Теорема 5.4. Часоподібна геодезична повнота, ізотропна геодезична повнота та просторовоподібна геодезична повнота логічно не еквівалентні. [6]
Водночас зрозуміло, що з о.у. Повноти часу подібна геодезична повнота випливає з очевидністю. З іншого боку, модифікуючи приклад Герок, наведений на рис. 5.2 шляхом зміни знака метричного тензора можна показати, що з о.у. Повноти просторовоподібна геодезична повнота не слідує. [7]
Теорема 5.4. Часоподібна геодезична повнота, ізотропна геодезична повнота та просторовоподібна геодезична повнота логічно не еквівалентні. [8]
Більш сильна форма повноти, b - повнота, забезпечує геодезичну повноту і, отже, долає цей останній недолік о.у.повноти. Інтуїтивно 6-повнота визначається наступним чином (див. Хокінг і Елліс (1977, с. Спочатку узагальнюється поняття афінного параметра з геодезичних на всі С1 - гладкі криві.) [9]
Однак Кундт, Герок і Бім запропонували серії прикладів глобально гіперболічних просторово-часових різноманіттів, для яких подібна геодезична повнота, ізотропна геодезична повнота і просторовоподібна геодезична повнота логічно не еквівалентні. Таким чином, існують глобально гіперболічні простори, які є просторово-подібно і часуподібно геодезично повними, проте ізотропно неповні. [10]
Важливо насамперед, що з наявності глобальної гіперболічності не випливає жодна з цих форм геодезичної повноти. [11]
Однак Кундт, Герок і Бім запропонували серії прикладів глобально гіперболічних просторово-часових різноманіттів, для яких часоподібна геодезична повнота, ізотропна геодезична повнота та просторовоподібна геодезична повнота логічно не еквівалентні. Таким чином, існують глобально гіперболічні простори, які є просторово-подібно і часуподібно геодезично повними, проте ізотропно неповні. [12]
Зауваження 5.13. Навіть для класу глобально гіперболічних просторово-часових різноманіттів кінцева компактність, або, що рівносильно, часоподібна коші-повнота, не означає наявності часуподібної геодезичної повноти, з насправді наведеної на рис. 5.2 приклад Герока є часом подібно геодезично неповний глобально гіперболічний простір-час, який звичайно компактний. [13]
Однак Кундт, Герок та Бім запропонували серії прикладів глобально гіперболічних просторово-часових.різноманіття, для яких часу подібна геодезична повнота, ізотропна геодезична повнота та просторовоподібна геодезична повнота логічно не еквівалентні. Таким чином, існують глобально гіперболічні простори, які є просторово-подібно і часуподібно геодезично повними, проте ізотропно неповні. [14]
Нехай 7 - / - М - довільна гладка геодезична. Отже, Ь - повнота спричиняє геодезичну повноту . Крім того, з Ь – повноти випливає о.у. повнота. Приклад Герока (див. рис. 5.2) із зміненим знаком метричного тензора показує, що існують глобально гіперболічні лоренцеві різноманіття, які є о.у. повними, а b – неповні. Тому з о.у. повноти Ь – повнота не слід. [15]