Геодезичне завдання
ГЕОДЕЗИЧНЕ ЗАВДАННЯ, визначення зворотного азимуту і координат кінцевої точки по координатах початкової точки, азимуту і довжині лінії, що виходить з цієї точки (пряме геодезичне завдання ), і визначення довжини, а також прямого і зворотного азимуту лінії за координатами її кінцевих точок (зворотне геодезичне завдання ). Перше завдання: за координатами х1 та у1, довжиною лінії d та азимутом α - координати кінця лінії х2 та у2 виражаються наступним чином:
Друге завдання: за координатами кінців лінії х1, у1 і х2, у2 - довжина d і азимут α визначаються з формул:
Значно складніше розв'язання геодезичної задачі для ліній та точок на сфероїді; громіздкі формули сфероїдичній тригонометрії практично майже не застосовні. Потрібно зазначити, що деяку частину поверхні земного сфероїда можна прийняти за площину та геодезичну задачу вирішувати за правилами плоскої тригонометрії (див. вище); дійсно, в колі радіусу близько 7 км лінії та кути на сфероїді настільки мало відрізняються від ліній і кутів, перенесених на дотичну в середній точці сфероїда площину, що ці відмінності не вловлюються навіть за найточніших вимірів; якщо величини ліній перевищують ці розміри, то доводиться зважати на геометричні особливості сфероїда (еліпсоїд обертання).
Відомо, що це геодезичні виміри горизонтальних кутів виробляються між вертикальними нормальними площинами. Це означає, що візирна площина А в проходить через лінію схилу (нормаль) в точці А і залишає на поверхні сфероїда деякий слід у вигляді дуги сфероїда; якщо точка В не знаходиться на одній широті з А, то напрям лінії тяжкості В буде інше, і площина візування з А в В не вміщатиме лінію схилу В, і, назад, площина візування з Вне вміщатиме лінію схилу в А, а обидва ці візування утворюють на поверхні еліпсоїда дві дуги, що не збігаються між собою, що сходяться в точках А і В і складають деякий кут. Найбільше значення цього кута виражається формулою:
тут S - довжина лінії і а - велика піввісь землі (приблизно 6377 км). Величина цього кута взагалі дуже незначна і лінії в 100 км вбирається у 0,1''. Великі зручності є заміною сфероїдичного нормального перерізу дугою кулі радіуса кривизни першого вертикалу; співвідношення між ними виражається формулою:
де S - дуга сфероїда, σ - дуга кулі радіусу, що дорівнює одиниці, ϱ2 - радіус кривизни першого вертикалу, е - ексцентриситет сфероїда, ϕ - широта, α - азимут. Значить, різницю між дугою сфероїда і дугою кулі виражається малою величиною п'ятого порядку, найбільше значення якої буде при ? = 0 ° і ? = 0 °; тоді
Якщо прийняти велику піввісь а = 6377 км, е = 1:12, σ = 2π/360, тобто дузі в 1 °, що відповідає на земній поверхні, приблизно 112 км, то
або 4 см, що дає відносну різницю на 112 км у вигляді відношення 1:3000000, що цілком задовольняє вимогам найточніших геодезичних робіт. Якщо бажано не виходити за межі точності в 1:1000000, слід обмежуватися дугами не більше 192 км, або, округляючи число, 200 км. Практично можлива заміна радіусу кривизни першого вертикалу середнім радіусом кривизни, що викликає мізерні поправки у наведених вище формулах. У всякому разі, лінії на земній сфероїдичній поверхні до 100 км, без шкоди для точності справи, можна трактувати як дуги кулі, тобто сфероїдичні трикутники трактувати як сферичні, вирішуючи їх за правилами сферичної тригонометрії; подальше спрощення обчислень ґрунтується на теоремі Лежандра: якщона кути сферичного трикутника розподілити ексцес порівну, то такий трикутник можна вирішувати, як плоский, тому що обчислені т. о. сторони дорівнюватимуть сторонам даного сферичного трикутника. Тут ексцес обчислюється за такою формулою:
Спосіб Бесселя заснований на прийнятті геодезичної лінії та на перенесенні обчислень зі сфероїду на кулю радіусу а (а - велика піввісь сфероїда). Шляхом звірення сферичного трикутника зі сфероїдичним всі точки сфероїда переносять на сферу радіусу а, так що геодезичні лінії перетворюються на дуги кіл, широти зображень точок на сфері дорівнюватимуть наведеним широтам на сфероїді, азимути геодезичних ліній зберігають свої величини. Залишається з'ясувати співвідношення: 1) між довжиною геодезичної лінії S та довжиною відповідної дуги на кулі δ і 2) між різницею довгот на сфероїді λ і відповідним кутом w на кулі. Перше співвідношення виражається формулою:
тут а – велика піввісь, е – ексцентриситет, u – наведена широта. Ці два диференціальних рівняння і є основними для вирішення геодезичної задачі за способом Бесселя; вирішуються вони інтегруванням і розкладанням подинтегральных функцій до ряду за висхідними ступенями величини е. У цих рядах можна обмежуватися різною кількістю членів залежно від тієї точності, з якою потрібно зробити обчислення у кожному окремому випадку. Значення допоміжних величин даються у спеціальних таблицях. У СРСР знаходять застосування формули Шрейбера. Військово-топографічним відділом у 1902 р. видано «Таблиці для обчислення широт, довгот та азимутів тригонометричних точок на еліпсоїді Бесселя» за формулами Шрейбера. За формулами Шрейбера широти та різниця довгот ліній до 100 км можуть бути отримані з точністю до 0,001", а азимути - з точністю до 0,01", тому прикористуванні цими формулами необхідно застосовувати семизначні логарифми та проводити інтерполювання. Не можна вказати існування формул Гауса, якими широти і азимути виходять шляхом послідовних наближень, а різниця довгот - безпосередньо.
Джерело: Мартенс. Технічна енциклопедія. Том 5 – 1929 р.