Геодезичні координати
ГЕОДЕЗИЧНІ КООРДИНАТИ. Геодезичні координати на правильному еліпсоїді повинні дорівнювати географічним координатам; обчислюються вони за допомогою тригонометричної мережі, в якій б. виміряно та обчислено всі сторони, кути та азимути (див. Геодезичне завдання). Координати початкової точки беруться з сусідньої тріангуляції, раніше обчисленої, або з астрономічних спостережень. Але так як поверхня землі не є правильна поверхня еліпсоїда, то практично геодезичні та географічні координати відрізняються один від одного іноді на десятки кутових секунд. Найкоротша крива, яка м. б. проведена на будь-якій поверхні між двома точками, називаєтьсягеодезичною лінією. Головна властивість геодезичної лінії (яке можна розглядати і як основне її визначення): площина, що стикається з геодезичною лінією в кожній точці, проходить через нормаль до поверхні, тобто напрямки нормалі до поверхні і головної нормалі до геодезичної лінії всюди збігаються. Для геодезичної лінії існує рівняння, яке виводиться із рівняння поверхні.
Якщо рівняння поверхні U(х, у, z)=0, то диференціальне рівняння геодезичної лінії:
Для поверхні обертання виходить рівняння: r∙sin α = Const. Т. до. радіус паралелі r на еліпсоїді обертання дорівнює a∙cos u, де а – велика піввісь та u – наведена широта паралелі, то з попереднього рівняння виходить a∙cos u∙sin α = Const. Ці обидва рівняння вказують на особливість у русі еліпсоїдом геодезичної лінії. Для двох точок еліпсоїда існує, отже, рівняння:
Якщо на кулі радіуса а скласти сферичний трикутник так, щоб дві дуги відповідно дорівнювали 90°-u і 90°-u' і один кут дорівнював α, то виявиться, щовсі точки даного сфероїдичного трикутника м. б. перенесені на сферу радіуса а, так що Геодезичні лінії обернуться в кола, широти на сфері дорівнюватимуть наведеним широтам на сфероїді, і азимути геодезичних ліній збережуть свої величини.
Перебіг геодезичної лінії, що виражається рівнянням r sin α = Const, має свої особливості. Так, якщо азимут геодезичної лінії дорівнює 0 або 180°, то вона для всіх широт буде збігатися з меридіаном; якщо геодезична лінія почалася на екваторі під азимутом 90 °, вона збігається з екватором. Якщо взяти загальний випадок, коли геодезична лінія виходить із довільної точки на північній половині сфероїда, під довільним азимутом між 0 і 90°, то для сталості виразу r∙sin α, при зменшенні на північ радіуса паралелі r, повинен збільшуватися sin α, отже, та азимут α; коли останній досягне 90°, r отримає найменше значення, і далі r почне збільшуватися, a sin α - зменшуватися; так буде до екватора, де r стане найбільшим, sin - найменшим і - найбільшим; далі геодезична лінія перейде у південну половину сфероїда, тощо.
По відношенню до нормальних перерізів геодезична лінія розташовується майже завжди між ними, але на меридіані (азимут = 0 °) і на екваторі (азимут = 90 °) збігається з ними. Між прямим та зворотним нормальними перерізами двох точок складається деякий кут, який визначається формулою:
де s – довжина лінії, R – радіус кривизни, е – ексцентриситет, α – азимут, ϕ – широта. Геодезична лінія, проходячи між нормальними перерізами, поділяє цей кут δ на нерівні частини так, що між одним нормальним перерізом і геодезичною лінією складається кут 2/3δ, а між іншим перетином - 1/3δ. Зважаючи на те, що різниця між довжиною геодезичної лінії та нормальними перерізамимізерно мала (на 1000 км всього 0,00002 м), можна нормальні перерізи по довжині вважати рівними геодезичної лінії, а для кутових обчислень необхідно азимути (прямі) нормальних перерізів змінювати на величину 1/3δ; втім, і ці поправки хоч трохи відчутні тільки на дуже великих відстанях (на 100 км – 0,1").
Джерело: Мартенс. Технічна енциклопедія. Том 5 – 1929 р.