Геодезичні лінії
У внутрішній геометрії поверхні роль прямих грають звані геодезичні лінії чи, як кажуть, просто «геодезичні».
Пряму на площині можна визначити як лінію, складену з відрізків, що частково налягають один на одного. Так само визначається геодезична, тільки роль відрізків грають найкоротші. Інакше висловлюючись, геодезична — це така крива лежить на поверхні, яка має досить мала дуга є найкоротшою. У тому, що не всяка геодезична в цілому є найкоротшою, можна переконатися на прикладі поверхні кулі, де будь-яка дуга великого кола є геодезичною, але найкоротшими будуть лише її ділянки, що не перевершують півкола. Геодезична може, як бачимо, навіть замкненою кривою.
Щоб з'ясувати деякі важливі властивості геодезичних, розглянемо наступну механічну модель. Нехай на поверхні
вміщено розтягнуту гумову нитку із закріпленими кінцями (рис. 39). Коли нитка має найменшу довжину, вона буде в рівновазі, тому що будь-яка зміна її положення пов'язана з розтягуванням і тому може статися лише під впливом зовнішніх сил. Значить, нитка, розташована за найкоротшою, буде рівноважною. Для рівноваги необхідно, щоб пружні сили на кожній ділянці нитки врівноважувалися опором поверхні, яка спрямована нормалі до неї. (Ми вважаємо, що поверхня гладка і тертя між ниткою і поверхнею відсутня.) Але в § 2 було встановлено, що тиск, що виробляється натягнутою ниткою на опору, спрямовано головною нормаллю до кривої, вздовж якої йде нитка. Тому ми приходимо до такого результату: головна геодезична нормаль у кожній точці спрямована за нормаллю до поверхні. Вірна і зворотна теорема: будь-яка крива на регулярній поверхні, що володієзазначеною властивістю є геодезичною.
Зазначена геодезична властивість дозволяє виявити наступний чудовий факт: якщо матеріальна точка рухається по поверхні так, що на неї не діють ніякі сили, крім реакції поверхні, то її траєкторія є геодезична. Дійсно, як ми знаємо з § 2, нормальне прискорення точки спрямоване по головній нормалі до траєкторії, а оскільки єдина сила, що діє на точку, є реакція поверхні, головна нормаль до траєкторії збігається з нормаллю до поверхні, і через останню теорему траєкторія є геодезичною. . Останнєвластивість геодезичних ще більше поглиблює їх схожість із прямими лініями. Подібно до того, як рух вільної точки за інерцією відбувається по прямій, рух точки, змушеної залишатися на поверхні, за відсутності зовнішніх сил відбувається по геодезичної 2.
З тієї ж властивості геодезичних випливає наступна теорема: якщо дві поверхні стосуються один одного вздовж кривої, яка на одній з них є геодезичною, то на другій поверхні ця крива також буде геодезичною. Справді, оскільки у кожній точці цієї кривої поверхні мають загальну дотичну площину, вони у цих точках мають загальну нормаль, оскільки на одній із поверхонь крива є геодезичної, ця нормаль збігається з головною нормаллю до кривої. Отже, на другій поверхні крива також буде геодезичною.
З цього результату випливають ще; дві наочні властивості геодезичних ліній. По-перше, якщо пружна прямокутна пластинка (наприклад, сталева лінійка) щільно прилягає до поверхні вздовж своєї середньої лінії, вона стосується цієї поверхні вздовж геодезичної. (Дійсно, лінія зіткнення залишається геодезичною на лінійці, атому виявляється геодезичною і на поверхні.) По-друге, якщо деяка поверхня котиться по площині так, що вона стосується при цьому площини деякою прямою, то слід цієї прямої на поверхні є геодезична.
Обидві ці властивості легко продемонструвати на прикладі циліндра і переконатися на досвіді, що серединна лінія плоскої прямої смуги, накладеної на циліндр (рис. 40), розташовується або утворює, або по колу, або по гвинтовій лінії (неважко довести, що геодезичні лінії на циліндрі можуть бути лише одного з цих типів). Ті ж лінії віддруковуються на циліндрі, якщо котити його по площині, на якій крейдою накреслена пряма.
Аналогія геодезичних з прямими на площині може бути доповнена ще однією важливою властивістю, яку часто беруть за визначення геодезичних. Саме прямі на площині можна визначити як криві нульової кривизни, а геодезичні на поверхні - як криві, що мають нульову геодезичну кривизну. (Нагадаємо, що геодезична кривизна є кривизна проекції кривої на дотичну площину поверхні в досліджуваній точці кривої; див. рис. 37.) Природності збігу цього визначення геодезичних з вихідним можна пояснити такими міркуваннями. Якщо в кожній точці деякої лінії кривизна проекції на дотичну площину дорівнює нулю, то крива відходить від своєї дотичної в основному в напрямку нормалі
до поверхні, тому й головна нормаль кривої спрямована щоразу нормалі до поверхні, і крива виявляється геодезичною в спочатку зазначеному сенсі. Навпаки, якщо крива є геодезичною, то її головна нормаль, а тому й основна частина відхилення від дотичної прямої спрямовані у бік нормалі до поверхні, тому при проектуванні надотичну площину виходить крива, у якої відхилення від дотичної істотно менше, ніж у вихідної кривої, і кривизна отриманої проекції виявляється рівною нулю.
Хід геодезичних на різних поверхнях може бути дуже різноманітним. Наприклад на рис. 41 зображено кілька геодезичних на гіперболоїді обертання.