Геометричний зміст такої назви цілком очевидний.
У плоскій задачі про поширення пружних коливань плоскою поздовжньою хвилею називається таке рішення рівнянь пружності (23) і (24), в якому векторний потенціал тотожно знищується, а скалярний потенціал є формулою виду (44) про речові коефіцієнти.
Плоскою поперечною хвилею називається таке рішення цих рівнянь, в якому скалярний потенціал знищується, а векторний потенціал представляється у вигляді (44) з речовими коефіцієнтами.
Оскільки очевидно, що коефіцієнт I неспроможна звернутися на нуль, його можна, не зменшуючи спільності, вважати рівним одиниці. Вважаючи для зручності, ми можемо записати поздовжню плоску хвилю у вигляді:
до поперечної плоскої хвилі у вигляді:
Якщо ми розглядаємо задачу про коливання напівпростору, причому А речовинне число ми називатимемо поздовжньою хвилею, що йде у напрямку до кордону, рішення виду:
а поздовжньою хвилею, що йде напрямом від кордону, рішення виду: (48)
Так само в поперечній хвилі, що йде до кордону, потенціал представляється формулою:
а в поперечній хвилі, що йде від кордону - формулою:
Геометричний зміст такої назви цілком очевидний. У хвилях, що йдуть до кордону, площини, на яких потенціал зберігає постійне значення, тобто площини
при зростанні пересуваються так, що напрямок їх руху I, що характеризується косинусами:
утворює тупий кут про віссю у.
У хвилях, що рухаються від кордону, напрям цього руху, що характеризується косинусами:
утворює гострий кут про віссю у. Проведений нами лримері загальних рівнянь пружності аналіз можебути цілком доданий і до більш простих випадків завдання поширення пружних хвиль, коли питання зводиться одного хвильовому рівнянню. У однаково це стосується і теорії відображення, до якої ми переходимо. Однак, зважаючи на те, що для більш простих випадків усі міркування будуть вкрай простими і. не становлять жодного інтересу, ми зупинимося на найскладнішому випадку загального пружного завдання.
Неважко переконатися, що в чистому вигляді ні хвиля, що йде до кордону, ні водна, що йде від неї, не задовольняють однорідним граничним умовам ні на вільній, ні на закріпленому кордоні.
Однак, якщо скласти розв'язання задачі шляхом накладання кількох таких хвиль, то цими умовами можна задовольнити.
Фізично цікавою є завдання: по заданій хвилі, що рухається до кордону і називається зазвичай падаючою хвилею, визначити дві відбиті хвилі, що йдуть від кордону, поздовжню і поперечну, таким чином, щоб сума хвилі падаючої та двох відбитих задовольняла граничним умовам.
Для того щоб зупинитися на чомусь певному, розглянемо відображення плоскої поздовжньої хвилі від вільного кордону. Нехай задана поздовжня хвиля, що падає, має вигляд:
де очевидно
Шукатимемо відбиті хвилі у вигляді:
Підставляючи в умови та отримаємо рівняння для визначення постійних А та В:
Звідси легко визначаємо значення постійних А та В:
Знаменник отриманих дробів завжди позитивний і рішення має сенс.
Зазначимо деякі геометричні наслідки формул (51) та (52). Якщо назвати кутом падіння хвилі кут, який становить нормаль до поверхні
з напрямком негативних у, а кутами відбиття і - кути, які становлятьповерхні
з напрямом позитивних y-ків, то для відображеної поздовжньої хвилі кут падіння дорівнює куту відображення а для відображеної поперечної відношення синуса кута падіння до синуса кута відображення дорівнює відношенню швидкості хвилі поздовжньої до швидкості хвилі поперечної:
Цей закон відомий із елементарної фізики.