Гіпотеза Борсука – це
Гіпотеза Борсука- спростована гіпотеза в комбінаторній геометрії, яка стверджує, що
Будь-яке тіло діаметраdуn-мірному евклідовому просторі можна розбити наn+1 частину так, що діаметр кожної частини буде меншимd.
Гіпотеза була висунута Каролом Борсуком (полск.) в 1933 р. Сам Борсук довів, що -мірну кулю не можна розділити на частин меншого діаметра, тим самим затвердивши нижню оцінку для кількості частин. Доказ ґрунтується на теоремі Борсука - Улама.
Спочатку вона була підтверджена в деяких випадках:
- Випадокn= 1 очевидний.
- Випадокn= 2 був доведений самим Борсуком у 1933 році.
- Випадокn= 3 був доведений Егглстоном у 1955 році. Просте підтвердження було знайдено пізніше Бранко Грюнбаумом і Хеппесом.
- За всіхnдля опуклих тіл з гладкою кордоном - результат Хадвігера (англ.) (1946).
- За всіхnвсім центрально-симетричних тіл. Доведено А. С. Рісслінгом.
- При всіх n для всіх тіл обертання - результат Декстера 1995 року.
Калай і Кан [1] побудували контрприклад у розмірностіn= 1325 і, крім того, для кожногоnнавели приклади тіл, які не можна розбити на частини меншого діаметра (тут [) x] означає цілу частинуx). Отже, гіпотеза неправильна всім досить великихn(точніше, ).
Наступний найкращий результат [2] показує, що гіпотеза неправильна всім