Голономна апроксимація - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, стаття 1
Голономна апроксимація
Теорема про голономну апроксимацію, яку ми обговорюємо в цьому розділі, стверджує, що в певному сенсі є несподівано багато голономних перерізів поблизу будь-якої підбагатоподібності А з V позитивної корозмірності. [1]
Теорема про параметричну голономну апроксимацію 3.1.2 виводиться з теореми 3.7.1 так само, як теорема про голономну апроксимацію виводиться з теореми 3.2.1, тобто. за допомогою індукції з кістяків і симплексів тріангуляції. [2]
Проблема побудови голономної апроксимації перерізу простору r - струменів поблизу деякого підбагачення А з R також, як правило, є нерозв'язною. Єдиним винятком є нульмерний випадок: будь-який перетин можна апроксимувати поблизу будь-якої точки струменем відповідного поліноміального відображення Тейлора. [3]
Доказ цієї теореми буквально повторює доказ теореми про голономну апроксимацію 3.1.1. Локальна інтегрованість забезпечує реалізацію першого кроку індукції при побудові голономної 7-апроксимації над кубом. Далі мікрогнучкість дозволяє довести відповідну версію леми про інтерполяцію 3.5.1, необхідну для доказу індукційної леми 3.4.1. Нарешті, при індуктивному побудові шуканого апроксимуючого голономного перерізу остовами тріангуляції поліедра А лема про продовження гомотопій формальних рішень 13.2.2 дозволяє нам продовжувати голономні рішення, отримані на черговому кроці індукції, на ОрА в класі формальних рішень. [4]
Метод доказу/г-принципу, заснований на теоремі про голономну апроксимацію, добре працює для відкритих різноманіттів. У разі замкнутих різноманіття його застосування вимагає деякого додаткового прийому,званого мікророзширенням. Метод голономної апроксимації придатний також для замкнутих диференціальних співвідношень, що володіють властивістю мікрогнучкості. Найбільш цікаві програми такого роду відносяться до симплектичної геометрії. Ці програми обговорюються у третій частині книги. Для зручності читача у цій частині міститься огляд основних понять симплектичної геометрії. [5]
Перші три частини книги присвячені вельми загальної теореми про голономну апроксимацію перерізів струменевих розшарування і додатків цієї теореми. VQ/г (1/о), де h: V - V є - малим диффеоморфізмом. [6]
Контрастуючи з вищесказаним, наступна теорема стверджує, що ми завжди можемо знайти голономну апроксимацію будь-якого перерізу F : V - Х поблизу злегка деформованого підмножини А з V, якщо вихідне підмножина А з V має позитивну корозмірність. [7]
Теорема про параметричну голономну апроксимацію 3.1.2 виводиться з теореми 3.7.1 так само, як теорема про голономну апроксимацію виводиться з теореми 3.2.1, тобто. за допомогою індукції з кістяків і симплексів тріангуляції. [8]
Громова про спрямовані вкладення та деякі інші випадки виконання /z-принципу є безпосередніми наслідками теореми про голономну апроксимацію. [9]
Нехай /о, f: Sl - R2 - два занурення та (/т, ут) - гомотопія формальних занурень, що з'єднує (/о/о) та (/i/i), тобто. МО т О - Розгляньте розширення / 0, f: S1 х ( - е, е) - R2 перерізів / о, / i і розширення F Sl х ( - е, е) - Jl ( Sl х ( - е, е), R2) гомотопії / та застосуйте теорему про параметричну голономну апроксимацію 3.1.2 ( порівн. [10]
Побудуємо голономну апроксимацію / - перерізу FU над К hl ( K) С V, де / гт - ( скільки завгодно) С - мала дифеотопія, і продовжимо а на всерізноманіття V. [11]
Ми розглядаємо тут два геометричні методи: метод голономної апроксимації, який є новою версією методу безперервних пучків, та метод опуклого інтегрування. Громова [Gr86], а, швидше, хочемо підготувати читача до спроби побачити приховані в ній скарби ідей. З іншого боку, читач, який цікавиться додатками, виявить, що, за винятком кількох важливих тем (таких як теорія Локампа [Lo95] негативної кривизни Річчі та теорія Дональд-сона [Do96] приблизно голоморфних перерізів), більшість відомих в даний час проявів / z - принципу можуть бути вивчені методами, що розглядаються у цій книзі. [12]
Ця книга написана з метою дати доступний виклад теорії/г-принципу, що лежить на стику між аналізом та геометрією. Автори викладають два методи доказу/z – принципу: голономну апроксимацію та опукле інтегрування. [13]
Метод доказу/г-принципу, заснований на теоремі про голономну апроксимацію, добре працює для відкритих різноманіттів. У разі замкнутих різноманіття його застосування вимагає деякого додаткового прийому, що називається мікророзширенням. Метод голономної апроксимації придатний також для замкнутих диференціальних співвідношень, що володіють властивістю мікрогнучкості. Найбільш цікаві програми такого роду відносяться до симплектичної геометрії. Ці програми обговорюються у третій частині книги. Для зручності читача у цій частині міститься огляд основних понять симплектичної геометрії. [14]