Гомоморфізми та ізоморфізми кілець - MathHelpPlanet
Обговорення та вирішення завдань з математики, фізики, хімії, економіки
Часовий пояс: UTC + 3 години [ Літній час ]
Введення в аналіз
Теорія черг (СМО)
Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
Розглянемо дуже коротко питання про гомоморфізм кілець і полів.
Нехай [math]\mathcal_1= (R_1,+,\cdot, \bold, \bold)[/math] і [math]\mathcal_2= (R_2,+, \cdot, \bold, \bold)[/math] - Кільця.
Визначення 2.9. Відображення [math]f\colon R_1\to R_2[/math] називають гомоморфізмом кілець (кільця [math]\mathcal_1[/math] в кільце [math]\mathcal_2[/math] ), якщо
будь-яких [math]x,y\in R_1[/math] , тобто. образ суми та добутку будь-яких двох елементів кільця [math]\mathcal_1[/math] при відображенні [math]f[/math] дорівнює відповідно сумі та добутку їх образів у кільці [math]\mathcal_1[/math] .
Якщо відображення [math]f[/math] сюр'єктивно (відповідно бієктивно), його називають епіморфізмом (відповідно ізоморфізмом) кілець (кільця [math]\mathcal_1[/math] на кільце [math]\mathcal_2[/math] ).
Приклад 2.25. Розглянемо [math]\mathcal_1= (\mathbb,+,\cdot, \bold, \bold)[/math] - кільце цілих чисел - і [math]\mathbb_k= (\mathbb_k, \oplus_, \odot_,0, 1) [/math] - кільце відрахувань по модулю [math] k [/ math]. Задамо відображення [math]f\colon \mathbb\to \mathbb_k[/math] так: для будь-якого цілого [math]m[/math] образ [math]f(m)[/math] дорівнює залишку від розподілу га на [ math]k[/math] . Раніше ми вже довели (див. приклад 2.21), що для будь-яких цілих [math]m[/math] та [math]n[/math] має місце рівність [math]f(m+n)= f(m)\ oplus_f(n)[/math] . Розмірковуючи аналогічно, можна показати, що для будь-яких цілих [math]m[/math] і [math]n[/math] також правильна рівність [math]f(m\cdot n)= f(m) \odot_ f(n )[/math] .З урахуванням того, що відображення [math]f[/math] сюр'єктивно, приходимо до висновку, що воно є гомоморфізмом кільця цілих чисел на кільце [math]\mathbb_k[/math] відрахувань по модулю [math]k[/math] .
Теореми про гомоморфізми та ізоморфізми кілець
Без доказу сформулюємо деякі теореми про гомоморфізми та ізоморфізми кілець (і полів). Всі ці твердження можуть бути доведені за аналогією з відповідними теоремами про гомоморфізми та ізоморфізми груп.
Теорема 2.20. Нехай [math]\mathcal_1[/math] і [math]\mathcal_2[/math] - довільні кільця. Якщо [math]f\colon \mathcal_1\to \mathcal_2[/math] - гомоморфізм, то
1) образ нуля кільця [math]\mathcal_1[/math] при відображенні [math]f[/math] є нуль кільця [math]\mathcal_2[/math] , тобто [math]f(0)=0[/ math];
2) образ одиниці кільця [math]\mathcal_1[/math] при відображенні [math]f[/math] є одиниця кільця [math]\mathcal_2[/math] , тобто [math]f(1)=1[/ math];
3) для будь-якого елемента [math]x[/math] кільця [math]\mathcal_1[/math] образ елемента, протилежного елементу [math]x[/math] , дорівнює елементу, протилежному образу елемента [math]x[/math ] , тобто [math] f (-x) = -f (x) [/ math];
4) якщо кільця [math]\mathcal_1[/math] та [math]\mathcal_2[/math] є полями, то для будь-якого елемента [math]x[/math] кільця [math]\mathcal_1[/math] образ елемента , зворотного до елементу [math]x[/math] за множенням, дорівнює елементу, зворотному до образу елемента [math]x[/math] , тобто [math]f(x^)=[f(x)]^[ / Math] .
Теорема 2.21. Якщо [math]f[/math] - гомоморфізм кільця [math]\mathcal[/math] в кільце [math]\mathcal[/math] , а [math]g[/math] - гомоморфізм кільця [math]\mathcal [/math] в кільце [math]\mathcal[/math] , то композиція відображень [math]f\circ g[/math] є гомоморфізмкільця [math]\mathcal[/math] в кільце [math]\mathcal[/math] .
Теорема 2.22. Якщо [math]f\colon \mathcal_1\to \mathcal_2[/math] — ізоморфізм кільця [math]\mathcal_1[/math] на кільце [math]\mathcal_2[/math] , то відображення [math]f^[/ math] є ізоморфізм кільця [math]\mathcal_2[/math] на кільце [math]\mathcal_1[/math] .
Як і у разі груп, визначаються поняття гомоморфного образу кільця та ізоморфних кілець. А саме кільце [math]\mathcal[/math] називають гомоморфним чином кільця [math]\mathcal[/math] , якщо існує гомоморфізм кільця [math]\mathcal[/math] на кільце [math]\mathcal[/math] . Два кільця [math]\mathcal[/math] і [math]\mathcal[/math] називають ізоморфними і пишуть [math]\mathcal\cong \mathcal[/math] , якщо існує ізоморфізм одного з них на інший.
Так, наприклад, кільце відрахувань за модулем [math]k[/math] є гомоморфний образ кільця цілих чисел при гомоморфізмі, що задається відображенням, яке кожному цілому [math]m[/math] зіставляє залишок від поділу [math]m[/math ] [math]k[/math] .
Приклад ізоморфізму полів
Розглянемо один цікавий приклад ізоморфізму полів.
Приклад 2.26. Як і в прикладі 2.22, поставимо у відповідність комплексному числу [math]a+bi[/math] матрицю [math]f(a+bi)= \begina&b\\-b&a\end[/math] . Отримаємо відображення [math]f[/math] , яке, як було доведено, є ін'єкцією, причому [math]f(0)= f(0+0\cdot i)= \bold[/math] , де [math] ]\bold[/math] - нульова матриця. Зауважимо, що оскільки визначник матриці зазначеного виду дорівнює [math]a^2+b^2[/math] , серед усіх таких матриць тільки нульова матиме нульовий визначник.
Далі, легко перевірити, що безліч таких матриць замкнута щодо операцій складання та множення матриць, містить (як уже буловідзначено) нульову та одиничну матриці, а також разом з кожною матрицею [math]A[/math] матрицю [math](-A)[/math] і разом з кожною ненульовою матрицею зворотну до неї матрицю. Це означає, що безліч матриць виду [math]\begin a&b\\-b&a\end\!,
a,b\in \mathbb[/math] , з операціями складання та множення матриць утворює поле. Позначимо його [math]\mathcal_2^[/math].
З прикладу 2.22 слід, що мультиплікативна група поля комплексних чисел ізоморфна мультиплікативної групи поля [math]\mathcal_2^[/math]. Так як
то і адитивна група поля комплексних чисел ізоморфна адитивної групи поля [math] \ mathcal_2 ^ [/ math]. Отже, ми отримуємо, що поле комплексних чисел ізоморфне на полю матриць [math]\mathcal_2^[/math] . Цей ізоморфізм є основою матричного подання алгебри комплексних чисел, що має значення для комп'ютерних реалізацій цієї алгебри.