Группоїди, напівгрупи, групи

Тема1. ЕЛЕМЕНТИ СПІЛЬНОЇ АЛГЕБРИ

1. Основні структури алгебри.

2. Елементи теорії множин, операції та відносини над множинами.

3. Функції, відносини еквівалентності, відносини часткового порядку.

4. Група Абелева, циклічна група.

5. Ізоморфізм, автоморфізм.

6. Кільце, дільники нуля. Тіло, поле.

8. Комплексні числа, події з них.

9. Тригонометрична форма, сполучені числа.

10. Формула Муавра.

Вилучення квадратного кореня, коріння вищих ступенів, коріння з одиниці, первісне коріння.

12. Багаточлени однієї змінної, операції з них.

13. Алгоритм поділу із залишком.

14. Подільність багаточленів, її властивості.

15. Найбільший спільний дільник алгоритм Евкліда.

16. Метод Горнера.

17. Основна теорема алгебри (без док-ва). Формули Вієта.

Комплексне коріння рівняння з дійсними коефіцієнтами.

1.1

Алгебраїчна система або алгебраїчна структура — безліч (носій) із заданим на ньому набором операцій (сигнатура), що задовольняє деяку систему аксіом. Тобто поняття системи алгебри є спеціалізацією поняття універсальної алгебри.

n-арна операція на G - це відображення прямого твору n екземплярів множини в саму множину. За визначенням, 0-арна операція — це виділений елемент множини. Найчастіше розглядаються унарні та бінарні операції, оскільки з ними легше працювати. Але у зв'язку з потребами топології, алгебри, комбінаторики поступово накопичується техніка роботи з операціями більшої арності, тут як приклад можна навести теорію операд (клонів полілінійних операцій) та алгебр над ними (мультиоператорних)алгебр).

Якщо безліч має структуру топологічного простору, і операції є безперервними, то називають топологічною системою алгебри. Так, у топологічній групі операції множення та взяття зворотного елемента є безперервними.

Не всі алгебраїчні конструкції описуються алгебраїчними системами, як приклад інших можна згадати коалгебри, біалгебри, алгебри Хопфа та комодулі над ними.

Список алгебраїчних систем

• Багато можна вважати виродженою алгебраїчною системою з порожнім набором операцій.

Групоїди, напівгрупи, групи

• Группоїд - безліч з однією бінарною операцією, зазвичай званої множенням.
• Права квазігрупа - групоїд, в якому можливий правий поділ, тобто рівняння має єдине рішення для будь-яких і .
• Квазігрупа - одночасно права та ліва квазігрупи.
• Лупа - квазігрупа з одиничним елементом таким, що .
• Напівгрупа - групоїд, в якому множення асоціативно: .
• Моноїд - напівгрупа з одиничним елементом.
• Група - моноід з розподілом. Для кожного елемента групи a можна визначити зворотний елемент a-1, такий, що .
• Абелева група - група, в якій операція коммутативна, тобто. Операцію в абелевій групі часто називають додаванням (+).

Кільця

• Півкільце - схоже на кільце, але без оборотності додавання.
• Кільце - структура з двома бінарними операціями: абелева група по додаванню, моноїд по множенню, виконується закон дистрибутивності: .
• Комутативне кільце - кільце з комутативним множенням.
• Цілісне кільце - кільце, в якому твір двох ненульових елементів не дорівнює нулю.
• Тіло - кільце, в якомуненульові елементи утворюють групу з множення.
• Поле - комутативне кільце, що є тілом.

Модулі

• Модуль над кільцем - абелева група по додаванню, з дистрибутивною унарною операцією множення на константу для кожного елемента кільця.
• Векторний простір - модуль над полем.

Алгебри

Алгебра (лінійна) - простір з білінійною дистрибутивною операцією множення, інакше кажучи, кільце з узгодженою структурою простору

• Асоціативна алгебра - алгебра з асоціативним множенням
• Алгебра Лі - алгебра з антикомутативним множенням (зазвичай позначається), що задовольняє тотожності Якобі
• Алгебра Йордана - комутативна алгебра з тотожністю слабкої асоціативності:
• Альтернативна алгебра - алгебра з тотожністю
• Алгебра Мальцева - антикомутативна алгебра з тотожністю
• Алгебра над операдою — одне із найбільш загальних видів алгебраїчних систем. Тут сама опера грає роль алгебри сигнатури.

Ріші

• Решітка - структура з двома комутативними, асоціативними, ідемпотентними операціями, що задовольняють закону поглинання.

1.2

Багато

Найбільш проста структура даних, що використовується в математиці, має місце у випадку, коли між окремими ізольованими даними відсутні будь-які взаємозв'язки. Сукупність таких даних ємножина. Поняття множини є невизначеним поняттям. Безліч не має внутрішньої структури. Безліч можна уявити як сукупність елементів, які мають деякою загальною властивістю. Для того, щоб деяку сукупність елементів можна було назвати безліччю, необхідно, щоб виконувалисьтакі умови:

1. Повинне існувати правило, що дозволяє визначити, чи належить зазначений елемент цієї сукупності.
2. Повинне існувати правило, що дозволяє відрізняти елементи один від одного. (Це, зокрема, означає, що безліч не може містити двоходнаковихелементів).

Безліч зазвичай позначаються великими латинськими літерами. Якщо елемент належить множині , це позначається:

Якщо кожен елемент множини є також і елементом множини , то кажуть, що множина є підмножиною множини :

Підмножина множини називаєтьсявласною підмножиною, якщо

Використовуючи поняття множини можна побудувати більш складні та змістовні об'єкти.

---